积分判别法

積分檢驗是用來測試無限級數是否收歛的方法。若$f(x)$在區間$[1, \infty)$的值是正的，且單調下降，則

級數$\sum_{n=1}^\infty f(n)$收歛当且仅当積分$\int_1^\infty f(x)\,dx$有限。

它最早可追溯到14世紀印度數學家Madhava和他的Kerala學派。在歐洲17、18世紀，馬克勞林和奧古斯丁·路易·柯西重新發現了這個方法。

证明

考虑如下积分

$\int_n^{n+1} f(x)\, dx$

由积分中值定理，可知：

$\int_n^{n+1} f(x)\, dx = f(\xi) \; , \; \xi \in [n,n+1]$

注意$f(x)$单调递减，因此有：

$f(n+1) \leq \int_n^{n+1} f(x)\, dx \leq f(n)$

进一步地，考虑如下求和：

$\sum_{n=1}^{k} f(n+1) \leq \sum_{n=1}^{k} \int_n^{n+1} f(x)\, dx \leq \sum_{n=1}^{k} f(n)$

中间项的和为：

$\sum_{n=1}^{k} \int_n^{n+1} f(x)\, dx= \int_1^{k+1} f(x)\, dx$

对上述不等式取极限$k \to \infty$，有：

$\sum_{n=1}^{\infty} f(n+1) \leq \int_1^{\infty} f(x)\, dx \leq \sum_{n=1}^{\infty} f(n)$

因此，由比较判别法，若积分:$\int_1^{\infty} f(x)\, dx$收敛，则无穷级数:$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$收敛；若积分发散，则此级数发散。

例子

调和级数

$\sum_{n=1}^\infty \frac1n$

是发散的，因为它的原函数是自然对数。

$\int_1^M\frac1x\,dx=\ln x\Bigr|_1^M=\ln M\to\infty$，当$M\to\infty$时。

而以下的级数

$\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1+\varepsilon}}$

则对所有的ε > 0都是收敛的，因为：

$\int_1^M\frac1{x^{1+\varepsilon}}\,dx =-\frac1{\varepsilon x^\varepsilon}\biggr|_1^M= \frac1\varepsilon\Bigl(1-\frac1{M^\varepsilon}\Bigr) \le\frac1\varepsilon$，对于所有$M\ge1.$

參考

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073