积分判别法

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无穷级数
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}
无穷级数

積分檢驗是用來測試無限級數是否收歛的方法。若f(x)區間[1, \infty)的值是正的,且單調下降,則

級數\sum_{n=1}^\infty f(n)收歛当且仅当積分\int_1^\infty f(x)\,dx有限。

它最早可追溯到14世紀印度數學家Madhava和他的Kerala學派。在歐洲17、18世紀,馬克勞林奧古斯丁·路易·柯西重新發現了這個方法。

证明[编辑]

考虑如下积分


\int_n^{n+1} f(x)\, dx

注意f(x)单调递减,因此有:


f(n+1) \leq \int_n^{n+1} f(x)\, dx \leq f(n)

进一步地,考虑如下求和:


\sum_{n=1}^{k} f(n+1) \leq 
\sum_{n=1}^{k} \int_n^{n+1} f(x)\, dx \leq
\sum_{n=1}^{k} f(n)

中间项的和为:


\sum_{n=1}^{k} \int_n^{n+1} f(x)\, dx= \int_1^{k+1} f(x)\, dx

对上述不等式取极限k \to \infty,有:


\sum_{n=1}^{\infty} f(n+1) \leq
\int_1^{\infty} f(x)\, dx \leq
\sum_{n=1}^{\infty} f(n)

因此,若积分\int_1^{\infty} f(x)\, dx收敛,则无穷级数\sum_{n=1}^{\infty}f(n)收敛;若积分发散,则此级数发散。

例子[编辑]

调和级数


\sum_{n=1}^\infty \frac1n

是发散的,因为它的原函数是自然对数


\int_1^M\frac1x\,dx=\ln x\Bigr|_1^M=\ln M\to\infty
,当M\to\infty
时。

而以下的级数


\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1+\varepsilon}}

则对所有的ε > 0都是收敛的,因为:


\int_1^M\frac1{x^{1+\varepsilon}}\,dx
=-\frac1{\varepsilon x^\varepsilon}\biggr|_1^M=
\frac1\varepsilon\Bigl(1-\frac1{M^\varepsilon}\Bigr)
\le\frac1\varepsilon
,对于所有M\ge1.

參考[编辑]

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073