积分变换

積分變換(integral transform)是數學中對於函數的作用子，用以處理微分方程等問題。常見的有 傅里葉變換﹑拉普拉斯變換。其他還有梅林變換和漢克爾變換。

概述

以一$t$ 為變數的函數 $f(t)$ 為例，$f(t)$經過一積分轉換$T$得到 $Tf(u)$

$(Tf)(u) = \int \limits_{t_1}^{t_2} K(t, u)\, f(t)\, dt$

其中 $K$ 是个确定的二元函数, 稱為此積分變換的 核函數(kernel function) 或 核(nucleus).当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。$f(t)$称为象原函数，$Tf(u)$称为$f(t)$的象函数，在一定条件下，它们是一一对应而变换是可逆的。

有些積分變換有相對應的反積分變換(inverse transform)，使得

$f(t) = \int \limits_{u_1}^{u_2} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du$

而$K^{-1}( u,t )$ 稱為反核(inverse kernel)。

積分變換表列

積分變換表列

積分變換	符號	核$K$	t1	t2	反核$K^{-1}$	u1	u2
傅立葉變換	$\mathcal{F}$	$\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
傅立葉正弦變換	$\mathcal{F}_s$	$\frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}}$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}}$	$0\,$	$\infty\,$
傅立葉餘弦變換	$\mathcal{F}_c$	$\frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}}$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}}$	$0\,$	$\infty\,$
en:Hartley transform	$\mathcal{H}$	$\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
en:Mellin transform	$\mathcal{M}$	$t^{u-1}\,$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{t^{-u}}{2\pi i}\,$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Two-sided Laplace transform	$\mathcal{B}$	$e^{-ut}\,$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
拉普拉斯轉換	$\mathcal{L}$	$e^{-ut}\,$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
en:Weierstrass transform	$\mathcal{W}$	$\frac{e^{-(u-t)^2/4}}{\sqrt{4\pi}}\,$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+(u-t)^2/4}}{i\sqrt{4\pi}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
en:Hankel transform		$t\,J_\nu(ut)$	$0\,$	$\infty\,$	$u\,J_\nu(ut)$	$0\,$	$\infty\,$
en:Abel transform		$\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}$	$u\,$	$\infty\,$	$\frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du}$	$t\,$	$\infty\,$
希爾伯特轉換	$\mathcal{H}il$	$\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
en:Poisson kernel		$\frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2}$	$0\,$	$2\pi\,$
Identity transform		$\delta (u-t)\,$	$t_1<u\,$	$t_2>u\,$	$\delta (t-u)\,$	$u_1\!<\!t$	$u_2\!>\!t$

在反積分轉換中, 常數c 由積分函數決定。