积分变换

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積分變換(integral transform)是數學中對於函數的作用子,用以處理微分方程等問題。常見的有 傅里葉變換拉普拉斯變換。其他還有梅林變換漢克爾變換

概述[编辑]

以一t變數函數 f(t) 為例,f(t)經過一積分轉換T得到 Tf(u)

 (Tf)(u) = \int \limits_{t_1}^{t_2} K(t, u)\, f(t)\, dt

其中 K 是个确定的二元函数, 稱為此積分變換的 核函數(kernel function) 或 (nucleus).当选取不同的积分域和变换核时,就得到不同名称的积分变换。f(t)称为象原函数,Tf(u)称为f(t)的象函数,在一定条件下,它们是一一对应而变换是可逆的。

有些積分變換有相對應的反積分變換(inverse transform),使得

 f(t) = \int \limits_{u_1}^{u_2} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du

 K^{-1}( u,t ) 稱為反核(inverse kernel)。

積分變換表列[编辑]

積分變換表列
積分變換 符號 K t1 t2 反核K^{-1} u1 u2
傅立葉變換 \mathcal{F} \frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\, \frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\,
傅立葉正弦變換 \mathcal{F}_s \frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}} 0\, \infty\, \frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}} 0\, \infty\,
傅立葉餘弦變換 \mathcal{F}_c \frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}} 0\, \infty\, \frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}} 0\, \infty\,
en:Hartley transform \mathcal{H} \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\, \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\,
en:Mellin transform \mathcal{M} t^{u-1}\, 0\, \infty\, \frac{t^{-u}}{2\pi i}\, c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
Two-sided Laplace
transform
\mathcal{B} e^{-ut}\, -\infty\, \infty\, \frac{e^{+ut}}{2\pi i} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
拉普拉斯轉換 \mathcal{L} e^{-ut}\, 0\, \infty\, \frac{e^{+ut}}{2\pi i} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
en:Weierstrass transform \mathcal{W} \frac{e^{-(u-t)^2/4}}{\sqrt{4\pi}}\, -\infty\, \infty\, \frac{e^{+(u-t)^2/4}}{i\sqrt{4\pi}} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
en:Hankel transform t\,J_\nu(ut) 0\, \infty\, u\,J_\nu(ut) 0\, \infty\,
en:Abel transform \frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}} u\, \infty\, \frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du} t\, \infty\,
希爾伯特轉換 \mathcal{H}il \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} -\infty\, \infty\, \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} -\infty\, \infty\,
en:Poisson kernel \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2} 0\, 2\pi\,
Identity transform \delta (u-t)\, t_1<u\, t_2>u\, \delta (t-u)\, u_1\!<\!t u_2\!>\!t

在反積分轉換中, 常數c 由積分函數決定。