积分因子

积分因子是一种用来解微分方程的方法。

方法

考虑以下形式的微分方程：

$y'+a(x)y = b(x)\quad\quad\quad (1)$

其中$y = y(x)$是$x$的未知函数，$a(x)$和$b(x)$是给定的函数。

我们希望把左面化成两个函数的乘积的导数的形式。

考虑函数$M(x)$。我们把(1)的两边乘以$M(x):$

$M(x)y' + M(x)a(x)y = M(x)b(x).\quad\quad\quad (2)$

如果左面是两个函数的乘积的导数，那么：

$(M(x)y)' = M(x)b(x).\quad\quad\quad (3)$

两边积分，得：

$y(x) M(x) = \int b(x) M(x)\,dx + C,$

其中$C$是一个常数。于是，

$y(x) = \frac{\int b(x) M(x)\, dx + C}{M(x)}.\,$

为了求出函数$M(x)$，我们把(3)的左面用乘法定则展开：

$(M(x)y)' = M'(x)y + M(x)y' = M(x)b(x).\quad\quad\quad$

与(2)比较，可知$M(x)$满足以下微分方程：

$M'(x) = a(x)M(x) .\quad\quad\quad (4)\,$

两边除以$M(x)$，得：

$\frac{M'(x)}{M(x)}-a(x) = 0.\quad\quad\quad (5)$

等式(5)是对数导数的形式。解这个方程，得：

$M(x)=e^{\int a(x)\,dx}.$

我们可以看到，$M'(x) = a(x)M(x)$的性质在解微分方程中是十分重要的。$M(x)$称为积分因子。

例子

解微分方程

$y'-\frac{2y}{x} = 0.$

我们可以看到，$a(x) = \frac{-2}{x}$：

$M(x)=e^{\int a(x)\,dx}$

$M(x)=e^{\int \frac{-2}{x}\,dx} = e^{-2 \ln x} = {(e^{\ln x})}^{-2} = x^{-2}$

$M(x)=\frac{1}{x^2}.$

两边乘以$M(x)$，得：

$\frac{y'}{x^2} - \frac{2y}{x^3} = 0$

$\left(\frac{y}{x^2}\right)' = 0$

或

$\frac{y}{x^2} = C$

可得

$y(x) = Cx^2.$

一般的应用

积分因子也可以用来解非线性微分方程。例如，考虑以下的非线性二阶微分方程：

$\frac{d^2 y}{d t^2} = A y^{2/3}$

可以看到，$\tfrac{d y}{d t}$是一个积分因子：

$\frac{d^2 y}{d t^2} \frac{d y}{d t} = A y^{2/3} \frac{d y}{d t}.$

利用复合函数求导法则，可得：

$\frac{d}{d t}\left(\frac 1 2 \left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right) = \frac{d}{d t}\left(A \frac 3 5 y^{5/3}\right)$

因此

$\left(\frac{d y}{d t}\right)^2 = \frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0$

利用分离变量法，可得：

$\int \frac{d y}{\sqrt{\frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0}} = t + C_1,$

这就是方程的通解。

参见

• 微分方程
• 乘法定则
• 全微分

参考文献

• Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999.