移動平均

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移動平均，簡稱均線，是技術分析其中一種分析时间序列數據的工具。最常見的是利用股價、回報或交易量等變數計算出移動平均。

移動平均可撫平短期波動，將長線趨勢或周期顯現出來。數學上，移動平均可視為一種卷积。

[编辑] 簡單移動平均

簡單移動平均（Simple moving average, SMA）是之前n個數值的未作加權算術平均。例如，收市價的10日簡單移動平均指之前10日收市價的平均數。設收市價為 $p 1$ 至 $p n$ ，則方程式為：

$SMA = { p_1 + p_2 + \cdots + p_n \over n }$

當計算連續的數值，一個新的數值加入，同時一個舊數值剔出，所以無需每次都重新逐個數值加起來：

$SMA_{t1} = SMA_{t0} - {p_1 \over n} + {p_{n+1} \over n}$

在技術分析中，有幾個n的數值較為普遍，如10日、40日、200日，視乎分析時期長短而定。投資者冀從移動平均線的圖表中分辨出支持位或阻力位。

[编辑] 加權移動平均

加權移動平均（Weighted moving average, WMA）指計算平均時個別數據乘以不同數值，在技術分析中，n日WMA的最近期一個數值乘以n、次近的乘以n-1，如此類推，一直到0：

$WMA_{M} = { n p_{M} + (n-1) p_{M-1} + \cdots + 2 p_{M-n+2} + p_{M-n+1} \over n + (n-1) + \cdots + 2 + 1}$

WMA，N=15

由於 $W M A M + 1$ 與 $W M A M$ 的分子相差 $n p_{M+1} - p_{M} - \cdots - p_{M-n+1}$ ，假設 $p_{M} + p_{M-1} + \cdots + p_{M-n+1}$ 為總和_M：

總和_M+1

=

總和_M

+ p M + 1 - p M - n + 1

分子_M+1

= N M + 1 =

分子_M

+ n p M + 1 -

總和_M

$WMA_{M+1} = { N_{M+1} \over n + (n-1) + \cdots + 2 + 1}$

留意分母為三角形數，方程式為 $n(n+1)\over2$

右圖顯示出加權是隨日子遠離而遞減，直至遞減至零。

[编辑] 指數移動平均

EMA，N=15

指數移動平均（Exponential Moving Average, EMA或EWMA）是以指數式遞減加權的移動平均。各數值的加權而隨時間而指數式遞減，越近期的數據加權越重，但較舊的數據也給予一定的加權。右圖是一例子。

加權的程度以常數α決定，α數值介乎0至1。α也可用N來代表： $\alpha={2\over{N+1}}$ ，所以，N=19代表α=0.1。

設時間t的數值為Y_t，而時間t的EMA則為S_t，計算時間t≥2是方程式為：^[1]

$S_{t} = \alpha \times Y_t + (1-\alpha) \times S_{t-1}$

設p=今日(t1)價格，今日(t1)EMA的方程式為：

$EMA_{t1} = EMA_{t0} + \alpha \times (p - EMA_{t0})$

將 $E M A t 0$ 分拆開來如下：

$EMA = { p_1 + (1-\alpha) p_2 + (1-\alpha)^2 p_3 + (1-\alpha)^3 p_4 + \cdots \over 1 + (1-\alpha) + (1-\alpha)^2 + (1-\alpha)^3 + \cdots }$

理論上這是一個无穷级数，但由於1-α少於1，各項的數值會越來越細，可以被忽略。分母方面，若有足夠多項，則其數值趨向 1/α。

假設k項及以後的項被忽略，即 $(1-\alpha)^k + (1-\alpha)^{k+1} + \cdots$ ，重寫後可得 $(1-\alpha)^k \times (1 + (1-\alpha) + (1-\alpha)^2 \cdots)$ ，相當於 ${(1-\alpha)^k \over \alpha}$ 。所以，若要包含99.9%的加權，解方程 $k={ \log (0.001 \times \alpha) \over \log (1-\alpha)}$ 即可得出k。由於當N不斷增加， $\log\,(1-\alpha)$ 將趨向 $-2 \over N+1$ ，簡化後 $k$ 大約等於 $3.45\times(N+1)$ 。