稠密集

在拓扑学及数学的其它相关领域，给定拓扑空间 X 及其子集 A ，如果对于 X 中任一点 x，x 的任一邻域同 A 的交集不为空，则 A 称为在 X 中稠密。直观上，如果 X 中的任一点 x 可以被A中的点很好的逼近，则称 A 在 X 中稠密。

等价地说，A 在 X 中稠密当且仅当 X 中唯一包含 A 的闭集是 X 自己。或者说，A 的闭包是 X ，又或者 A 的补集的内部是空集。

度量空间中的稠密集

在度量空间(E,d)中，也可以定义稠密集为： A 在 E 的一个子集 X 中稠密当且仅当对于 X 中的任一元素 x ，都存在 A 中的一个元素列，其极限是 x 。

如果 E 是一个完备的度量空间，那么一列在 E 中稠密的开集 ${U_n}_{n \le 1}$ 的交集：$\bigcap^{\infty}_{n=1} U_n$ 仍然在 E 中稠密。这个结论可以由贝尔纲定理直接推出。

例子

• 每一拓扑空间是其自身的稠密集。
• 有理数域和无理数域是实数域中的稠密集（在通常拓扑意义下）。
• 度量空间$M$是其完备集$\gamma M$中的稠密集。

参见

• 可分空间 存在可数稠密集的空间。
• 无处稠密集 意如其文。

參考文獻

• Nicolas Bourbaki. General Topology, Chapters 1–4, Elements of Mathematics. Springer-Verlag. 1989 [1971]. ISBN 3-540-64241-2. 
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology. Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag. 1995 [1978], MR507446, ISBN 978-0-486-68735-3