積分常數

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積分常數是指在微積分中,函數不定積分表示式中會出現的一個待定常數,一般會用C表示,一函數的反導數有無窮多個,但其中除了積分常數不同外,其餘部份均相同[1][2]。積分常數表示在反導數本身有一些模稜两可之處。若針對函數f(x),而F(x)f(x)的一個反導數,則函數f(x)的所有反導數可以用F(x) + C來表示,其中C為任意值。有些積分表為了簡單起見,會省略不定積分的積分常數。

簡介[编辑]

任何常數函數的導數均為零,因此只要發現一個函數的反導數F(x),因為(F(x) + C)' = F\,'(x) + C\,' = F\,'(x),加上或減去一常數C後的函數也是反導數,積分常數可用來表示任何函數均有無限個不同的反導數。

例如,假設需要求得 \cos(x)的反導數,\sin(x)\sin(x)+1\sin(x)-\pi的導數都是\cos(x),因此都是\cos(x)的反導數。

同一個函數可以有許多的反導數,而這些反導數之間只相差一個常數,因此若要列出 \cos(x)所有的反導數,可以用以下的通式:

\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C.

C即為積分常數,利用下式可以確認這些函數的確都是\cos(x)的反導數:

\begin{align}
\frac{d}{dx}[\sin(x) + C] &= \frac{d}{dx}[\sin(x)] + \frac{d}{dx}[C] \\
                          &= \cos(x) + 0 \\
                          &= \cos(x)
\end{align}

若利用線性代數的描述方式,微分算子可將k+1維的向量映射到k維的空間中,因此其反運算(積分)會多一個待確定的條件[3]

積分常數的必要性[编辑]

積分常數可以設為0,而且利用微積分基本定理計算定積分時,積分常數會互相抵消,積分常數看似沒有必要。

不過試圖將積分常數設為0的作法不一定合理,例如2\sin(x)\cos(x)可以用以二種方式積分:

\begin{align}
\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx &=&  \sin^2(x) + C &=& -\cos^2(x) + 1 + C \\
\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx &=& -\cos^2(x) + C &=&  \sin^2(x) - 1 + C
\end{align}

即使將C設為0,仍然有些積分表示式中會出現常數,也就是說有些函數不存在一種最簡單的反導數。

使用積分常數的另一個原因,是有時會需要反導數在特定點為某特定值,就像是初值問題的情形一様。例如要求出\cos(x)的反導數,且x = π時的值為100,此時C只有一個數值才能滿足此條件(此例中C = 100)。

上述限制可以用微分方程的形式來描述:求解一個函數f(x)的反導數也就是求解微分方程\frac{dy}{dx} = f(x)。任何微分方程都有許多的解,每一個解都是一個良態初值問題的唯一解。上一段的問題中x = π時的值為100即為初始條件。每一個初值問題對應一個唯一的C值,若沒有積分常數C,許多初值問題就無法求解。

不同反導數之間只差一個常數的原因[编辑]

原因可以用以下定理來表示:令Let F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}G:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}為二個處處可微的函數。假設對於所有的實數xF\,'(x) = G\,'(x)都成立,則存在一實數C使得對於所有的實數xF(x) - G(x) = C皆成立。

若要證明此式,由於[F(x) - G(x)]' = 0,因此以下用F-G來代替F,而用常數函數0來代替G,待證明為一個處處可微,導數恆為0的函數一定是常數:

選擇一實數a,令C = F(a)。針對任意的x,依照微積分基本定理可得

\begin{align}
\int_a^x 0\,dt &= F(x)-F(a)\\
               &= F(x)-C,
\end{align}

因此可得F(x)=C,因此F為常數函數。

證明過程中,有二個條件相當重要。首先,實數數線為連通空間,若實數數線不是連通空間,就無法從固定的a點積分到任意的x點。例如一函數只在[0,1]及[2,3]的區間有定義,而a為0,因為函數在1到2之間沒有定義,不可能從0積分到3。此時會有二個常數,分別對應定义域中的二個連通空間。一般而言,若將常數改為局部常數函數英语locally constant functions,可以將此定理延伸到不連通的空間中。例如\textstyle\int dx/x有二個積分常數,而\textstyle\int \tan x\,dx,有無限個積分常數。1/x積分的一般式為:[4]

\int {1 \over x}\,dx = \begin{cases}\ln \left|x \right| + C^- & x < 0\\
\ln \left|x \right| + C^+ & x > 0
\end{cases}

再者,FG的條件需是處處可微的函數,若FG在某一點不可微,則以上定理不成立。例如令F(x)单位阶跃函数,在x負值時為0,在x非負時為1,令G(x)=0F在有定義導數的區域,其導數為0,G的導數恆為0,但FG不只差一個常數而已。

甚至假設FG為處處連續,幾乎處處可微,則以上定理仍然不成立。康托函數和常數函數0就是這樣的例子。

參考資料[编辑]

  1. ^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5. 
  2. ^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. Calculus 9th. Brooks/Cole. 2009. ISBN 0-547-16702-4. 
  3. ^ Albert Tarantola, "Inverse Problems: Exercices. Chapter 8: The Derivative Operator, its Transpose, and its Inverse", 12 March 2007
  4. ^ "Reader Survey: log|x| + C", Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012