積性函數

在非數論的領域，積性函數指所有對於任何a,b都有性質f(ab)=f(a)f(b)的函數。

而本條目只討論在數論中的積性函數。對於正整數n的一個算術函數 f(n)，當中f(1)=1且當a,b互質，f(ab)=f(a)f(b)，在數論上就稱它為積性函數。若某算術函數f(n)符合f(1)=1，且就算a,b不互質，f(ab)=f(a)f(b)，則稱它為完全積性的。

例子

• φ(n) －歐拉φ函數，計算與n互質的正整數之數目
• μ(n) －默比烏斯函數，關於非平方數的質因子數目
• gcd(n,k) －最大公因數，當k固定的情況
• d(n) －n的正因數數目
• σ(n) －n的所有正因數之和
• σ_k(n): 因數函數，n的所有正因數的k次冪之和，當中k可為任何複數。在特例中有：
  • σ₀(n) = d(n) 及
  • σ₁(n) = σ(n)
• 1(n) －不變的函數，定義為 1(n)=1 （完全積性）
• Id(n) －單位函數，定義為 Id(n)=n （完全積性）
• Id_k(n) －冪函數，對於任何複數、實數k，定義為Id_k(n) = n^k （完全積性）
  • Id₀(n) = 1(n) 及
  • Id₁(n) = Id(n)
• ε(n) －定義為：若n = 1，ε(n)=1；若n > 1，ε(n)=0。有時稱為「對於狄利克雷卷積的乘法單位」（完全積性）
• (n/p) －勒讓德符號，p是固定質數（完全積性）
• λ(n) －劉維爾函數，關於能整除n的質因子的數目
• γ(n)，定義為γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函數ω(n)是不同能整除n的質數的數目
• 所有狄利克雷特徵均是完全積性的

性質

積性函數的值完全由質數的冪決定，這和算術基本定理有關。即是說，若將n表示成質因數分解式如${p_1}^{a_1} {p_2}^{a_2} ... {p_k}^{a_k}$，則$f(n)=f({p_1}^{a_1}) f({p_2}^{a_2}) ... f({p_k}^{a_k})$。

若f為積性函數且f(pⁿ) = f(p)ⁿ，則f為完全積性函數。

狄利克雷卷積

兩個積性函數的狄利克雷卷積必定是積性函數。因此，以卷積為群的運算，所有積性函數組成了一個子群。但注意兩個完全積性函數的卷積未必是完全積性的。