空集公理

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

集合论中,空集公理Zermelo-Fraenkel 集合论公理之一。

形式陈述[编辑]

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中,这个公理读做:

\exist A ,\forall x :\lnot (x \in A)

换句话说:

有着一个集合使得没有集合是它的成员。

解释[编辑]

我们可以使用外延公理来证实只有一个这样的集合。因为它是唯一我们可以指出的。它叫做空集,并指示为 {} 或 \varnothing。因此这个公理的本质是:

存在一个空集。

空集公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价者出现在任何可替代的集合论的公理化中。

在某些 ZF 的公式化中,空集公理实际上在无穷公理中是重复的。换句话说,有不预示一个空集存在的另一种公理公式化。还有,ZF 公理还可以使用表示空集的常量符号书写;那么无穷公理使用这个符号而不要求它是空的,尽管需要空集公理来生成它实际上是空的。进一步的说,你有时以没有无穷集合的方式考虑集合理论,所以空集公理仍是需要的。就是说,使用分离公理模式,声称任何集合存在的任何公理都蕴涵空集公理。

引用[编辑]

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.