立方体堆砌

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立方体堆砌
立方蜂巢體
Partial cubic honeycomb.png
Cubic honeycomb.png
線架圖
類型 正堆砌
家族 立方形堆砌
維度 3
{4,3} Hexahedron.png
棱处相交胞:4×{4,3}
顶点处相交胞:8×{4,3}
{4} Kvadrato.svg
棱处相交面:4×{4}
顶点处相交面:12×{4}

顶点处相交棱:6
顶点图 Cubic honeycomb verf.png
正八面体
施萊夫利符號 {4,3,4}
歐拉示性數 0
考克斯特圖 CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
類比 正方形鑲嵌
參考索引[1] J11,15, A1
W1, G22
對稱群 {\tilde{C}}_4
空間群 Pm3m
考克斯特群 {\tilde{C}}_3, [4,3,4]
考克斯特記號 [4,3,4]
纖維流形 4:2
對偶多胞體 自身对偶
特性 顶点正英语vertex-transitive

立方体堆砌(Cubic Honeycomb)[2]三维空间内唯一的正密铺,也是28个半正密铺之一,由立方体堆砌而成,其縮寫為chon[3]。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体,因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。

立方形家族里的多胞形二胞角总是90°,因此总能独自完成超平面密铺,这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”,具有{\tilde{C}}_n对称性,有施莱夫利符号形式{4,3,……,3,4}。

笛卡爾坐標[编辑]

頂點的笛卡爾坐標為:

(i, j, k)
對所有的i,j,k皆為立方體邊長整數

因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。

对称性[编辑]

作为立方形堆砌家族其中一员,立方体堆砌有{\tilde{C}}_4对称性,有施莱夫利符号{4,3,4},考克斯特符号CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png,除此之外,作为一个空间堆砌,它有Pm3m空间平移对称性。

而然,立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌,它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表:

名称 考克斯特标记
空间群
考克斯特—迪肯符号英语Coxeter-Dynkin diagram 施莱夫利符号 有限部
分图像
颜色组合
(字母表示)
立方体堆砌 [4,3,4]
Pm3m
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {4,3,4} Partial cubic honeycomb.png 1: aaaa/aaaa
三次截半半
立方体堆砌
[4,31,1]
Fm3m
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png {4,31,1} Bicolor cubic honeycomb.png 2: abba/baab
截面立方体
堆砌
[4,3,4]
Pm3m
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png t0,3{4,3,4} Runcinated cubic honeycomb.png 4: abbc/bccd
正四棱柱
堆砌
[4,3,4,2,∞] CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.png {4,4}×t{∞} Square prismatic honeycomb.png 2: aaaa/bbbb
截棱正四棱柱
堆砌
[4,3,4,2,∞] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png t1{4,4}×{∞} Square prismatic 2-color honeycomb.png 2: abba/abba
无穷次无穷次
无穷边形
[∞,2,∞,2,∞] CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png t{∞}×t{∞}×{∞} Square 4-color prismatic honeycomb.png 4: abcd/abcd
无穷次无穷次
无穷边形
[∞,2,∞,2,∞] CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.png t{∞}×t{∞}×t{∞} Cubic 8-color honeycomb.png 8: abcd/efgh

相關堆砌[编辑]

立方體堆砌是平面正方形鑲嵌{4,4}在三維空間的類比,他們的形式皆為{4,3,...,3,4},為立方形堆砌家族的一部份,在這個家庭的鑲嵌都是自身对偶。他也是28種由凸均勻多面體組成的均勻鑲嵌之一。

自然界中的立方体堆砌[编辑]

氯化钠(NaCl)的晶体结构:面心立方晶格

作为少有的三维半正堆砌,自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构,在固体物理学中被称为“立方晶系”,许多固体化合物,如氯化钠硫化锌氯化亚铜萤石三氧化铼金属单质,如等,都具有这种晶系的结构。

簡單立方晶格[编辑]

簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性,通過較低的晶系代表:

晶系 單斜
三斜
正交 四方 三方 立方

單位晶格
平行六面體 長方體 三方
偏方面體
正方體
點群

旋轉對稱群
[ ], (*)
Order 2
[ ]+, (1)
[2,2], (*222)
Order 8
[2,2]+, (222)
[4,2], (*422)
Order 16
[4,2]+, (422)
[3], (*33)
Order 6
[3]+, (33)
[4,3], (*432)
Order 48
[4,3]+, (432)
圖示 Monoclinic.svg Orthorhombic.svg Tetragonal.svg Hexagonal latticeR.svg Lattic simple cubic.svg
空間群
旋轉對稱群
Pm (6)
P1 (1)
Pmmm (47)
P222 (16)
P4/mmm (123)
P422 (89)
R3m (160)
R3 (146)
Pm3m (221)
P432 (207)
考克斯特式 - [∞]a×[∞]b×[∞]c [4,4]a×[∞]c - [4,3,4]a
考克斯特符號英语Coxeter diagram - CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png - CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

相關多面體和鑲嵌[编辑]

立方体堆砌與四維超正方體施萊夫利符號{4,3,3}相似,但超正方體只存在四維空間,且每個邊的周為只有三個正方體而立方体堆砌有四個。此外,也可以有每個邊的周為有五個正方體,他稱為五階立方体堆砌,存在於雙曲空間,施萊夫利符號為{4,3,5}。

{p,3,4}
空間 S3 E3 H3英语雙曲空間
來源 有限 仿射 緊湊 仿緊 非緊
施式 {3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
{4,3,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.png
{5,3,4}英语order-4 dodecahedral honeycomb
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
{6,3,4}英语order-4 hexagonal tiling honeycomb
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.pngCDel uaub.pngCDel nodes.png
{7,3,4}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
{8,3,4}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
... {∞,3,4}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
圖像 Stereographic polytope 16cell.png Cubic honeycomb.png H3 534 CC center.png H3 634 FC boundary.png
Tetrahedron.png
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Hexahedron.png
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Dodecahedron.png
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 63-t0.png
{6,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 237-1.png
{7,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 238-1.png
{8,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 23i-1.png
{∞,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

考克斯特群[4,3,4]、CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png產生15個排列均勻的鑲嵌中,9個具有獨特的的幾何形狀,包括交替立方体堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。

空間群 纖維流形 擴展
對稱群
擴展
标记
蜂巢體
(堆砌)
Pm3m
(221)
4:2 [4,3,4] CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel 4.pngCDel node c4.png ×1 CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 1, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 2, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 3, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png 4,
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png 5, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png 6
Fm3m
(225)
2:2 [1+,4,3,4]
↔ [4,31,1]
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.png
Half CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 7, CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png 11, CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png 12, CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png 13
I43m
(217)
4o:2 [[(4,3,4,2+)]] CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes hh.png Half × 2 CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes hh.png (7),
Fd3m
(227)
2+:2 [[1+,4,3,4,1+]]
↔ [[3[4]]]
CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes h1h1.png
CDel branch 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
Quarter × 2 CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes h1h1.png 10,
Im3m
(229)
8o:2 [[4,3,4]] CDel branch c2.pngCDel 4a4b.pngCDel nodeab c1.png ×2

CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes 11.png (1), CDel branch 11.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png 8, CDel branch 11.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes 11.png 9

考克斯特群[4,31,1], CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中,其中4個具有獨特的的幾何形狀,包括交替立方体堆砌。

空間群 纖維流形 擴展
對稱群
擴展
标记
蜂巢體
(堆砌)
Fm3m
(225)
2:2 [4,31,1]
↔ [4,3,4,1+]
CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png
CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h1.png
×1 CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 1, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 2, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 3, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 4
Fm3m
(225)
2:2 <[1+,4,31,1]>
↔ <[3[4]]>
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.pngCDel split2.pngCDel node.png
×2 CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png (1), CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png (3)
Pm3m
(221)
4:2 <[4,31,1]> CDel node c3.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png ×2

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png 5, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png 6, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png 7, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png (6), CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png 9, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png 10, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png 11

立方體堆砌是{\tilde{A}}_3考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌[4]之一,其對稱性可以乘以環在考克斯特-迪肯符號的對稱性:

空間群 纖維流形 方形
對稱群
擴展
對稱群
擴展
标记
擴展
蜂巢體
(堆砌)
F43m
(216)
1o:2 a1 [3[4]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png ×1 (None)
Fd3m
(227)
2+:2 p2 [[3[4]]] CDel branch 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h1.png
×2 CDel branch 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png 3
Fm3m
(225)
2:2 d2 <[3[4]]>
↔ [4,3,31,1]
CDel node c3.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1-2.pngCDel split2.pngCDel node c3.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c3.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1-2.png
×2 CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10luru.pngCDel split2.pngCDel node.png 1,CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10luru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png 2
Pm3m
(221)
4:2 d4 [2[3[4]]]
↔ [4,3,4]
CDel node c1.pngCDel split1.pngCDel nodeab c2.pngCDel split2.pngCDel node c1.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node.png
×4 CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png 4
Im3m
(229)
8o:2 r8 [4[3[4]]]
↔ [[4,3,4]]
CDel branch c1.pngCDel 3ab.pngCDel branch c1.png
CDel branch c1.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png
×8 CDel branch 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch 11.png 5, CDel branch hh.pngCDel 3ab.pngCDel branch hh.png (*)

参考[编辑]

  1. ^
  2. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
  3. ^ Richard Klitzing, chon [2014-04-27]
  4. ^ [1], A000029 6-1 cases, skipping one with zero marks
  • H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover参与编辑, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
  • George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (包含11个凸半正镶嵌、28个凸半正堆砌、和143个凸半正四维砌的全表)
  • Branko Grünbaum, 三维正镶嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication参与编辑, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
    • (22页) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空间镶嵌)
  • A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
  • Richard Klitzing, 3D Euclidean Honeycombs, x4o3o4o - chon - O1
  • Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon