立方体堆砌

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立方体堆砌
Partial cubic honeycomb.png
类型 正堆砌
家族 立方形堆砌
施莱夫利符号 {4,3,4}
Coxeter-Dynkin符号 CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
{4,3}
{4}
顶点图 Cubic honeycomb verf.png
(正八面体)
棱处相交胞 4×{4,3}
棱处相交面 4×{4}
顶点处相交胞 8×{4,3}
顶点处相交面 12×{4}
顶点处相交棱 6
欧拉示性数 0
空间群 Pm3m
考克斯特群 {\tilde{C}}_3, [4,3,4]
对偶 自身对偶
特性 顶点正
线架图

立方体堆砌(Cubic Honeycomb)是三维空间内唯一的正密铺,也是28个半正密铺之一,由立方体堆砌而成。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体,因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。
立方形家族里的多胞形二胞角总是90°,因此总能独自完成超平面密铺,这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”,具有{\tilde{C}}_n对称性,有施莱夫利符号形式{4,3,……,3,4}。

对称性[编辑]

作为立方形堆砌家族其中一员,立方体堆砌有{\tilde{C}}_4对称性,有施莱夫利符号{4,3,4},考克斯特符号CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png,除此之外,作为一个空间堆砌,它有Pm3m空间平移对称性。
而然,立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌,它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表:

名称 考克斯特标记
空间群
考克斯特—迪肯符号 施莱夫利符号 有限部
分图像
颜色组合
(字母表示)
立方体堆砌 [4,3,4]
Pm3m
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {4,3,4} Partial cubic honeycomb.png 1: aaaa/aaaa
三次截半半
立方体堆砌
[4,31,1]
Fm3m
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png {4,31,1} Bicolor cubic honeycomb.png 2: abba/baab
截面立方体
堆砌
[4,3,4]
Pm3m
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png t0,3{4,3,4} Runcinated cubic honeycomb.png 4: abbc/bccd
正四棱柱
堆砌
[4,3,4,2,∞] CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.png {4,4}×t{∞} Square prismatic honeycomb.png 2: aaaa/bbbb
截棱正四棱柱
堆砌
[4,3,4,2,∞] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png t1{4,4}×{∞} Square prismatic 2-color honeycomb.png 2: abba/abba
无穷次无穷次
无穷边形
[∞,2,∞,2,∞] CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png t{∞}×t{∞}×{∞} Square 4-color prismatic honeycomb.png 4: abcd/abcd
无穷次无穷次
无穷边形
[∞,2,∞,2,∞] CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.png t{∞}×t{∞}×t{∞} Cubic 8-color honeycomb.png 8: abcd/efgh

自然界中的立方体堆砌[编辑]

氯化钠(NaCl)的晶体结构:面心立方晶格

作为少有的三维半正堆砌,自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构,在固体物理学中被称为“立方晶系”,许多固体化合物,如氯化钠硫化锌氯化亚铜萤石三氧化铼金属单质,如等,都具有这种晶系的结构。

参考[编辑]

  • H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover参与编辑, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
  • George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (包含11个凸半正镶嵌、28个凸半正堆砌、和143个凸半正四维砌的全表)
  • Branko Grünbaum, 三维正镶嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication参与编辑, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
    • (22页) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空间镶嵌)
  • A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
  • Richard Klitzing, 3D Euclidean Honeycombs, x4o3o4o - chon - O1
  • Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon