立方和

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立方和的簡單圖解

立方和是數學公式的一種,它屬於因式分解乘法公式恆等式,被普遍使用。立方和是指一個立方數,加上另一個立方數,即是它們的總和。公式如下:

a^3+b^3 \equiv (a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!

同時

a^3-b^3 \equiv (a - b)(a^2 + ab + b^2)\,\!

立方和被因式分解後,答案分別包含二項式三項式,與立方差相同。此公式對幾何學工程學等有很大作用。因此,立方和(因式分解的分類)被編入中國大陸(上海版除外)、香港臺灣初中必修課程

驗證[编辑]

主驗證[编辑]

驗證此公式,可透過因式分解,首先運用的原理,設以下公式:

a^2b - a^2b + ab^2 - ab^2 = 0 \,\!

然後代入:

 =a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \,\!

透過因式分解,可得:

 =a(a^2 - ab + b^2) + b (a^2 - ab + b^2) \,\!
 =(a+b)(a^2 - ab + b^2) \,\!

這樣便可驗證:a^3+b^3 \equiv (a+b)(a^2-ab+b^2)

和立方驗證[编辑]

透過和立方可驗證立方和的原理:

(x + y)^3 \,\!
= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \,\!

那即是只要減去3x^2y3xy^2便可得到立方和,可設:

 x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3x^2y - 3xy^2  \,\!
右邊的方程  = (x + y)^3 - 3x^2y - 3xy^2 \,\!

運用因式分解的方法:

= (x + y)^3 - 3xy (x + y) \,\!
= (x + y) \left[ (x + y)^2 - 3xy \right] \,\!
= (x + y) (x^2 + 2xy + y^2 - 3xy) \,\!
= (x + y) (x^2 - xy + y^2) \,\!

這樣便可驗證出:x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \,\!

幾何驗證[编辑]

圖象化a^3 + b^3

透過繪立體的圖像,也可驗證立方和。根據右圖,設兩個立方,總和為:

x^3 + y^3 \,\!

把兩個立方體對角貼在一起,根據虛線,可間接得到:

(x + y)^3 \,\!

要得到x^3 + y^3,可使用(x + y)^3的空白位置。該空白位置可分割為3個部分:

  • x \times y \times (x+y)
  • x \times (x+y) \times y
  • (x+y) \times y \times x

把三個部分加在一起,便得:

= xy(x+y) + xy(x+y) + xy(x+y) \,\!
=3xy(x + y) \,\!

之後,把(x + y)^3減去它,便得: =(x + y)^3 - 3xy(x + y) \,\! 上公式發現兩個數項皆有一個公因子,把它抽出,並得:

=(x + y) \left[ (x + y)^2 - 3xy \right] \,\!

(x + y)^2可透過和平方公式,得到:

=(x + y) (x^2 + 2xy + y^2 - 3xy) \,\!
=(x + y) (x^2 - xy + y^2) \,\!

這樣便可證明 x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2) \,\!

反驗證[编辑]

透過(a + b)(a^2 - ab + b^2) 也可反驗證立方和。

(a + b)(a^2 - ab + b^2) \,\!
= a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) \,\!
= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \,\!
= a^3 + b^3 \,\!

以上計算方法亦可簡化為一個表格:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
x) +a^2 -ab +b^2
+a +a^3 -a^2b +ab^2
+b +a^2b -ab^2 +b^3

這樣便可證明 a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \,\!

例题讲解[编辑]

  1. 27m^3 + 125因式分解
    • 把兩個數項都轉為立方:
    =(3m)^3 + 5^3 \,\!
    • 運用立方和可得:
    =(3m + 5) (9m^2 - 15m + 25) \,\!
  2. 8m^3 + 64n^3因式分解
    • 把兩個數項都轉為立方:
    =(2m)^3 + (4n)^3 \,\!
    • 運用立方和便可得:
    =(2m + 4n)(4m^2 - 8mn + 16n^2) \,\!
    • 但這個並非答案,因為答案仍可被因式分解:
    =(2)(m+2n)(4)(m^2 - 2mn + 4n^2) \,\!
    =8(m+2n)(m^2 - 2mn + 4n^2) \,\!
    • 亦可使用另一個方法來減省步驟。首先把公因子抽出:
    =8[m^3 + (2n^3)] \,\!
    • 直接使用立方和,並得:
    =8(m + 2n)(m^2 - 2mn + 4n^2) \,\!

立方差[编辑]

立方差也可以使用立方和來驗證,例如:

125u^3 - 343v^3 \,\!

把兩個數項都轉為立方數:

=(5u)^3 - (7v)^3 \,\!

運用負正得負,可得:

= (5u)^3 + (-7v)^3 \,\!

然後運用立方和,可得:

= \left[ 5u + (-7v) \right] \left[ 25u^2 - (5u) (-7v) + (-7v)^2 \right]
=(5u - 7v) (25u^2 + 35uv + 49v^2) \,\!

這個方法更可驗證到立方差的公式是a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \,\!

兩組立方和的數[编辑]

有些整數可以有兩個立方和組合,而最少的,已是過千的1729。它是兩組不同的立方和:

1729 = 1^3 + 12^3 \,\!
1729 = 9^3 + 10^3 \,\!

下一個同樣有兩個立方和組合的整數是4104

4104 = 9^3 + 15^3 \,\!
4104 = 2^3 + 16^3 \,\!


首十個兩組立方和的數:1729,4104,13832,20683,32832,39312,40033,46683,64232,65728

參考文獻[编辑]