立方根

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y = \sqrt[3]{x}x \ge 0)的图像。

如果一個x立方等於a,那麼這個數x就是a立方根,其中x稱為「被開方數」,而x可以是正數0負數虚数。例如3的立方為27,那麼這個數3就是27的一个立方根(在实数范围内)。若x是正實數,這個乘積相當於一個邊長x的立方体的体積

符號[编辑]

实数系中,实数a的立方根通常用\sqrt[3]{a}表示,读作“三次根号a”。所谓“三次根号”,就是在二次根号\sqrt{\,\,}的左上角加上根指数“3”。

值得注意的是,某个实数a的立方根在复数系中可能有1个,或者2个,或者3个,但在实数系中有且仅有1个。即在实数系中,实数a的立方根唯一确定。于是,我们约定,用三次根号表示的立方根仅用来表示其中的实数。例如:\sqrt[3]{1}仅表示实数1,而不表示虚数\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\,\!,与\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\,\!。相关内容参见下文“1的立方根”。

1的立方根[编辑]

即解x^3=1\,\!,解法如下:

  1. 將1移項至左邊:x^3-1=0\,\!
  2. 因式分解(立方差):x^3-1^3=0\,\!\left( x-1 \right) \left( x^2+x+1 \right)=0\,\!
    1. x-1=0\,\!,則x=1\,\!
    2. x^2+x+1=0\,\!,則x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}
  • \omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\,\!,則\omega^2 = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\,\!;反之,令\omega = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\,\!,則\omega^2 = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\,\!。由以上的式子可看出\omega\,\!的特性有:
  1.  \omega^2+\omega+1=0\,\!
  2.  \omega^3=1\,\! ←將\omega\,\!代回x^3=1\,\!即求得。

\omega\,\!可代表\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}中的任何一數,即\omega\,\!為1的立方虛根。

开立方公式[编辑]

X_{n+1}=X_{n}+(A/X^{2}_{n}-X_{n})1/3   例如,A=5,k=3,即求:\sqrt[3]{5},而5介于1³至2³之间(1³=1,2³=8)

初始值X_{0}可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,2.0都可以。例如我们取X_{0}=2.按照公式:

  1. X_{1}=2+(5/2²-2)1/3=1.75。输入值大于输出值,负反馈;即5/2×2=1.25,1.25-2=-0.75,-0.75×1/3=-0.25,2+(-0.25)=1.75,比前面多取一位數。即取2位数值,即1.7。
  2. X_{2}=1.7+(5/1.7²-1.7)1/3=1.71.输入值小于输出值,正反馈,即5/1.7×1.7=1.73010,1.7301-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,1.7+0.01=1.71。取3位数,比前面多取一位数。
  3. X_{3}=1.71+(5/1.71²-1.71)1/3=1.709.
  4. X_{4}=1.709+(5/1.709²-1.709)1/3=1.7099,这种方法可以自动调节,第一步与第三步取值偏大,但是计算出来以后输出值会自动转小;第二步,第四步输入值偏小,输出值自动转大,即5=1.7099³。当然初始值X_{0}也可以取1.1, 1.2, 1.3, ... 1.8, 1.9中的任何一个,都是X_{1}=1.7>。當然,我們在實際中初始值最好採用中間值,即1.5:1.5+(5/1.5²-1.5)1/3=1.7。

每一步多取一位數。計算次數與計算精確度成為正比。這個方法又叫反饋開方,即使你輸入一個錯誤的數值,也沒有關係,輸出值會自動調節,接近準確值。

符号史[编辑]

1220年意大利斐波那契第一次使用「Rx」來表達立方根(“R”源于拉丁文radix的首字母,意思为“根,方根”)。

十七世紀初時,法國數學家笛卡兒(1596-1650)在他的著作幾何學中第一次用「√  ̄」表示根號。“√”,即小写r的变形,“ ̄”则起到括号的作用。到了18世纪中叶,数学家卢贝(Loubere)将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(根指数为2时,省略不写)。从而,形成了我们现在所用的开方符号\sqrt{\,\,}


參見[编辑]