立方根

y = $\sqrt[3]{x}$ （ $x \ge 0$ ）的图像。

如果一個數x的立方等於a，那麼這個數x就是a的立方根，其中x稱為「被開方數」，而x可以是正數、0或負數。例如3的立方為27，那麼這個數3就是27的立方根。若x是正實數，這個乘積相當於一個邊長為x的立方体的体積。

符號 [编辑]

$\sqrt[3]{ }$ 表示立方根的符號，是在平方根符號「 $\sqrt { }$ 」的左上角加上一個“3”字。

即解 $x^3=1\,\!$ ，解法如下：

將1移項至左邊： $x^3-1=0\,\!$
因式分解（立方差）：，
1. 若 $x-1=0\,\!$ ，則 $x=1\,\!$
2. 若 $x^2+x+1=0\,\!$ ，則 $x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$

令 $\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\,\!$ ，則 $\omega^2 = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\,\!$ ；反之，令 $\omega = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\,\!$ ，則 $\omega^2 = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\,\!$ 。由以上的式子可看出 $\omega\,\!$ 的特性有：

故 $\omega\,\!$ 可代表 $\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$ 中的任何一數，即 $\omega\,\!$ 為1的立方虛根。

$X_{n+1}=X_{n}+(A/X^{2}_{n}-X_{n})1/3$ 　例如，A=5，k=3，即求： $\sqrt[3]{5}$ ，而5介于1³至2³之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

初始值 $X_{0}$ 可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取 $X_{0}=2.$ 按照公式：

$X_{1}$ =2+（5/2²-2)1/3=1.75。输入值大于输出值，负反馈；即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，-0.75×1/3=-0.25，2+(-0.25)=1.75，比前面多取一位數。即取2位数值,即1.7。
$X_{2}$ =1.7+（5/1.7²-1.7)1/3=1.71.输入值小于输出值，正反馈，即5/1.7×1.7=1.73010，1.7301-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。
$X_{3}$ =1.71+（5/1.71²-1.71)1/3=1.709.
$X_{4}$ =1.709+（5/1.709²-1.709)1/3=1.7099，这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大，即5=1.7099³。当然初始值 $X_{0}$ 也可以取1.1, 1.2, 1.3, ... 1.8, 1.9中的任何一个,都是 $X_{1}=1.7>$ 。當然，我們在實際中初始值最好採用中間值，即1.5：1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。