笛卡儿叶形线

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a=1

笛卡儿叶形线是一个代数曲线,首先由笛卡儿在1638年提出。笛卡儿叶形线的隐式方程为:

x^3 + y^3 - 3 a x y = 0. \,

极坐标中的方程为:

r = \frac{3 a \sin \theta \cos \theta}{\sin^3 \theta + \cos^3 \theta }.

這個名字來自 拉丁文folium ,意思是 "leaf"(葉子)。

曲线的特征[编辑]

切线的方程[编辑]

利用隐函数的求导法则,我们可以求出y':

\frac{dy}{dx} = \frac{a y - x^2}{y^2 - a x}.

利用直线的点斜式方程,我们可以求出点(x_1 , y_1)处的切线方程:

y - y_1 = \frac{a y_1 - x_1^2}{y_1^2 - a x_1}(x - x_1).

水平和竖直切线[编辑]

a y - x^2 = 0时,笛卡儿叶形线的切线是水平的。所以:

x = a\sqrt[3]{2}.

y^2 - a x = 0时,笛卡儿叶形线的切线是竖直的。所以:

y = a\sqrt[3]{2}.

这可以通过曲线的对称来解释。我们可以看到,曲线有两条水平切线和两条竖直切线。笛卡儿叶形线关于y = x对称,所以如果水平切线有坐标(x_1,y_1)的话,则一定有一个对应的竖直切线,坐标为(y_1,x_1)

渐近线[编辑]

曲线有一条渐近线

x + y + a = 0.

这个渐近线的斜率是-1,x截矩和y截矩都是-a。

参考文献[编辑]

  • Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987.
  • Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 77-82, 1997.
  • Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 106-109, 1972.
  • MacTutor History of Mathematics Archive. "Folium of Descartes." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Foliumd.html.
  • Stroeker, R. J. "Brocard Points, Circulant Matrices, and Descartes' Folium." Math. Mag. 61, 172-187, 1988.
  • Yates, R. C. "Folium of Descartes." In A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 98-99, 1952.