笛卡儿符号法则

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笛卡儿符号法则,首先由笛卡儿在他的作品《La Géométrie》中描述,是一个用于确定多项式的正根或负根的个数的方法。

如果把一元实系数多项式按降幂方式排列,则多项式的正根的个数要么等于相邻的非零系数的符号的变化次数,要么比它依次小2的数,如5,3,1或4,2,0。而负根的个数则是把所有奇数次项的系数变号以后,所得到的多项式的符号的变化次数,或者比它小2的倍数。

例如,以下的多项式

x^3 + x^2 - x - 1 \,

在第二项和第三项有一个符号变化。因此它正好有一个正根。实际上,我们可以看到,这个多项式可以分解为:

(x + 1)^{2}(x - 1), \,

因此它的根为−1(二重根)和1。

把奇数次项变号,可得:

-x^3 + x^2 + x - 1. \,

这个多项式有两个符号变化,因此这个多项式有2个或0个正根,原来的多项式有2个或0个负根。这个多项式可以分解为:

-(x - 1)^{2}(x + 1), \,

因此根为1(二重根)和−1。

特殊情况[编辑]

注意如果知道了多项式只有实数根,则利用这个方法可以完全确定正根的个数。由于零根的重复度很容易计算,因此也可以求出负根的个数。于是所有根的符号都可以确定。

参见[编辑]

外部链接[编辑]

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