笛卡儿坐标系
维基百科，自由的百科全书
在數學裏，笛卡兒坐標系，也稱直角坐標系，是一種正交坐標系。參閱圖 1 ，二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、0 點重合的數軸構成的。在平面內，任何一點的坐標 是根據數軸上 對應的點的坐標設定的。在平面內，任何一點與坐標的對應關係，類似於數軸上點與坐標的對應關係。
採用直角坐標，幾何形狀可以用代數公式明確的表達出來。幾何形狀的每一個點的直角坐標必須遵守這代數公式。例如，一個圓圈，半徑是 2 ，圓心位於直角坐標系的原點。圓圈可以用公式表達為 
。
目录 |
[编辑] 歷史
笛卡兒坐標系是由法國數學家笛卡兒創建的。1637年，笛卡兒發表了巨作《方法論》(Discours de la méthode) 。這本專門研究與討論西方治學方法的書，提供了許多正確的見解與良好的建議，對於未來的西方學術發展，有很大的貢獻。為了顯示新方法的優點與果效，以及對他個人在科學研究方面的幫助，在《方法論》的附錄中，他增添了另外一本書《幾何》。有關笛卡兒坐標系的研究，就是出現於《幾何》這本書內。笛卡兒在坐標系這方面的研究結合了代數與歐幾里德幾何，對於後來解析幾何、微積分、與地圖學的建樹，具有關鍵的開導力。
[编辑] 二維坐標系統
，紅點：
，藍點：
，黃點：
。
參閱圖 2 ，二維的直角坐標系通常由兩個互相垂直的坐標軸設定。每一個軸都指向一個特定的方向。這兩個不同線的坐標軸，決定了一個平面，稱為 xy-平面，又稱為笛卡兒平面。通常，横軸稱為 x-軸。縱軸稱為 y-軸。兩個坐標軸的相交點，稱為原點，通常標記為 O 。
為了要知道坐標軸的任何一點，離原點的距離。假設，我們可以刻畫數值於坐標軸。那麼，從原點開始，往坐標軸所指的方向，每隔一個單位長度，就刻畫數值於坐標軸。這數值是 刻畫的次數，也是離原點的正值整數距離；同樣地，背著坐標軸所指的方向，我們也可以刻畫出 離原點的負值整數距離。稱 x-軸刻畫的數值為 x-坐標，又稱横坐標，稱 y-軸刻畫的數值為 y-坐標，又稱縱坐標。雖然，在這裏，這兩個坐標都是整數，對應於坐標軸特定的點。按照比例，我們可以推廣至實數坐標 和其所對應的坐標軸的每一個點。這兩個坐標就是直角坐標系的直角坐標，標記為 
。
任何一個點 P 在平面的位置，可以用直角坐標來獨特表達。只要從點 P 畫一條垂直於 x-軸的直線。從這條直線與 x-軸的相交點，可以找到點 P 的 x-坐標。同樣地，可以找到點 P 的 y-坐標。這樣，我們可以得到點 P 的直角坐標。例如，參閱圖 3 ，點 P 的直角坐標是 
。
直角坐標系也可以推廣至三維空間與高維空間 (higher dimension) 。
參閱圖 3 ，直角坐標系的兩個坐標軸將平面分成了四個部分，稱為象限，分別用羅馬數字編號為 
，
，
，
。依照慣例，象限 
的兩個坐標都是正值；象限 
的 x-坐標是負值， y-坐標是正值；象限 
的兩個坐標都是負值的；象限 
的 x-坐標是正值， y-坐標是負值。所以，象限的編號是按照逆時針方向，從象限 編到象限 。
[编辑] 三維坐標系統
。黃色平面的 
。藍色平面的 
。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），
。
在原本的二維直角坐標系，再添加一個垂直於 x-軸，y-軸的坐標軸，稱為 z-軸。假若，這三個坐標軸滿足右手定則，則可得到三維的直角坐標系。這 z-軸與 x-軸，y-軸相互正交於原點。在三維空間的任何一點 P ，可以用直角坐標 
來表達其位置。例如，參閱圖 5 ，兩個點 P 與 Q 的直角坐標分別為 
與 
。
三個平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，將三維空間分成了八個部分，稱為卦限 (octant) 。與二維空間的四個象限不同，只有一個卦限有編號。第一號卦限的每一個點的三個坐標都是正值的。
[编辑] 取向
[编辑] 二維空間
直角坐標系的 x-軸與 y-軸必須相互垂直。稱包含 y-軸的直線為 y-線。在二維空間裏，當我們設定了 x-軸的位置與方向的同時，我們也設定了 y-線的方向。可是，我們仍舊必須選擇，在 y-線的以原點為共同點的兩條半線中，那一條半線的點的坐標是正值的，那一條是負值的？任何一種選擇決定了 xy-平面的取向。
參閱圖 1 。通常，我們選擇的取向是，正值的 x-軸横地指向右方，正值的 y-軸縱地指向上方。這種取向稱為正值取向，標準取向，或右手取向。
右手定則是一種常用的記憶方法，專門用來辨認正值取向：將一隻半握拳的右手放在平面上，大拇指往上指，那麼，其它的手指都從 x-軸指向 y-軸。
另外一種取向，採用左手定則，專門用來辨認負值取向，或左手取向：將一隻半握拳的左手放在 xy-平面上，大拇指往上指，那麼，其它的手指都從 y-軸指向 x-軸。
不論坐標軸是何種取向，將坐標系統做任何角度的旋轉，取向仍舊會保持不變。
[编辑] 三維空間
直角坐標系的 x-軸，y-軸，與 z-軸必須相互垂直。稱包含 z-軸的直線為 z-線。在三維空間裏，當我們設定了 x-軸，y-軸的位置與方向的同時，我們也設定了 z-線的方向。可是，我們仍舊必須選擇，在 z-線以原點為共同點的兩條半線中，那一條半線的點的坐標是正值的，那一條是負值的？這兩種不同的坐標系統，稱為右手坐標系與左手坐標系。右手坐標系又稱為標準坐標系，或正值坐標系。
右手坐標系這名詞是由右手定則而來的。先將右手的手掌與手指伸直。然後，將中指指向往手掌的掌面 半空間，與食指呈直角關係。再將大拇指往上指去，與中指，食指都呈直角關係。則大拇指，食指，與中指分別表示了右手坐標系的 x-軸，y-軸，與 z-軸。同樣地，用左手也可以表示出左手坐標系。
圖 8 試著展示出一個左手坐標系與一個右手坐標系。因為我們用二維畫面來展示三維物體，會造成扭曲或模稜兩可的圖形。指向下方與右方的軸，也有指向讀者的意思；而位置居於中間的軸，也有指向讀者正在看的方向的意思。平行於 xy-平面的紅色圓形曲箭，其紅色箭頭從 z-軸前面經過，表示從 x-軸往y-軸的旋轉方向。
[编辑] 向量
採用直角坐標系，在三維空間裏，任何一點 P 都可以用向量來表示。我們可以想像向量為一隻直箭，其尾部在原點，首部在點 P 。假若點 P 的向量是 
，直角坐標是 。那麼，
；
其中，單位向量 
，
與 
分別指向 x-軸，y-軸，與 z-軸指向的正無窮值方向。
[编辑] 參閱
|
|
|
|---|---|
| 正交坐標系 | 正交坐標系 |
| 二維坐標系 | 直角坐標系 · 極坐標系 · 拋物線坐標系 · 雙極坐標系 · 雙角坐標系 · 雙心坐標系 · 雙曲坐標系 · 橢圓坐標系 |
| 三維坐標系 | 直角坐標系 · 圓柱坐標系 · 球坐標系 · 三維拋物線坐標 · 拋物柱面坐標系 · 拋物面坐標系 · 扁球面坐標系 · 長球面坐標系 · 橢球坐標系 · 橢圓柱坐標系 · 圓環坐標系 · 雙球坐標系 · 雙極圓柱坐標系 · 圓錐坐標系 · Flat-Ring cyclide coordinates · Flat-Disk cyclide coordinates · Bi-cyclide coordinates · Cap-cyclide coordinates |
| 座標系統 | |
[编辑] 參考文獻
Descartes, René. Oscamp, Paul J. (trans). Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. 2001.
[编辑] 參考目錄
- Morse PM, Feshbach H（1953）．Methods of Theoretical Physics, Part I．New York：McGraw-Hill，p. 656．ISBN 0-07-043316-X．
- Margenau H, Murphy GM（1956）．The Mathematics of Physics and Chemistry．New York：D. van Nostrand，p. 177．
- Korn GA, Korn TM（1961）．Mathematical Handbook for Scientists and Engineers．New York：McGraw-Hill，pp. 55–79．ASIN B0000CKZX7．
- Sauer R, Szabó I（1967）．Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs．New York：Springer Verlag，p. 94．
- Moon P, Spencer DE（1988）．“Rectangular Coordinates (x, y, z)”，Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions，corrected 2nd ed., 3rd print ed.，New York：Springer-Verlag，pp. 9–11 (Table 1.01)．ISBN 978-0387184302．
