符号函数

符號函數（Sign function，簡稱sgn）是一個邏輯函數，用以判斷實數的正負號。為避免和英文讀音相似的正弦函數（sine）混淆，它亦稱為Signum function。其定義為：

$\sgn x = \left\{ \begin{matrix} -1 & : & x 0 \end{matrix} \right.$

性质

用艾佛森括號定義：

$\sgn x = -[x 0]$

任何實數都可以表示為其絕對值和符號函數的積：

$x=(\sgn x)|x|$

若x不為零，可以由上式得出符號函數的另一個定義：

$\sgn x = {x \over |x|}$

符號函數是絕對值函數的導數：

$\frac{d|x|}{dx} = \frac{x}{|x|} = \sgn x$

除了在0，符號函數可微分，其導數為0。透過一般化微分概念，可以說符號函數的導數是狄拉克δ函數的兩倍：

${d \ \sgn x \over dx} = 2 \delta (x)$

它和單位步階函數的關係：

$\sgn x = 2 H_{1/2}(x) - 1$

推广到复数

符號函數可以推廣到複數：對於任意$z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}$，

$\sgn z = \frac z{|z|}$

对于任何z ∈ $\mathbb{C}$，除了z = 0以外。复数z的符号函数，是复平面上中心为原点的单位圆上距离z最近的点。那么，对于z ≠ 0，有：

$\sgn z = \exp(i\arg z)\,,$

其中arg表示辐角。

符号函数在复数范围的另外一个推广是csgn函数，定义为：

$\operatorname{csgn}(z)= \begin{cases} 1 & \text{if } \Re(z) > 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) > 0), \\ -1 & \text{if } \Re(z) < 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) < 0), \\ 0 & \text{if } \Re(z)=\Im(z)=0. \end{cases}$

我们有（除了z = 0以外）：

$\operatorname{csgn}(z) = \frac{z}{\sqrt{z^2}} = \frac{\sqrt{z^2}}{z}.$