等价关系

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R集合 A 上的一个二元关系,若 R 满足:

  1. 自反性:\forall x \in A,~~x R x
  2. 对称性:\forall x, y \in A,~~ x R y ~~ \implies ~~y R x
  3. 传递性:\forall x, y, z \in A, ~~~( x R y ~~ \wedge ~~ y R z) ~~\implies~~x R z

则称 R 是定义在 A 上的一个等价关系

例如,设 A = \{1, 2, \ldots, 8\},定义A上的关系R如下:


R = \{ (x, y) | x, y \in A \wedge x \equiv y (\mod~3) \}

其中x \equiv y (\mod~3) 叫做 xy 模 3 同餘,即 x 除以 3 的餘数与 y 除以 3 的餘数相等。不难验证 RA 上的等价关系。

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