等价关系

设 $R$ 是某個集合 $A$ 上的一个二元关系。若 $R$ 满足以下條件：

1. 自反性：$\forall x \in A,~~x R x$
2. 对称性：$\forall x, y \in A,~~ x R y ~~ \implies ~~y R x$
3. 传递性：$\forall x, y, z \in A, ~~~( x R y ~~ \wedge ~~ y R z) ~~\implies~~x R z$

则称 $R$ 是一個定义在 $A$ 上的等价关系。習慣上會把等價關係的符號由 $R$ 改寫為 $\sim$。

例如，设 $A = \{1, 2, \ldots, 8\}$，定义$A$上的关系$R$如下：

$xRy \iff \forall x, y \in A, ~ x \equiv y \pmod{3}$

其中$x \equiv y \pmod{3}$ 叫做 $x$ 与 $y$ 模 3 同餘，即 $x$ 除以 3 的餘数与 $y$ 除以 3 的餘数相等。例子有 1R4, 2R5, 3R6。不难验证 $R$ 为 $A$ 上的等价关系。

不是所有的二元關係也是等價關係。一個簡單的反例子是比較兩個數中哪個較大：

• 沒有自反性：任何一個數不能比自身為較大 ($n \ngtr n$)
• 沒有對稱性：如果 $m > n$，就肯定不能有 $n > m$

参见

• 等价类
• 集合划分
• 商集
• 等价符号