等价类

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数学中,假設在一个集合X上定義一个等价关系(用 \sim來表示),则X中的某個元素a等价类就是在X中等价于a的所有元素所形成的子集:

[a] = \{ x \in X | x \sim a \}

等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在X中的给定等价关系 \sim的所有等价类的集合表示为X/ \sim并叫做X除以 \sim商集。这种运算可以(实际上非常不正式的)被认为是输入集合除以等价关系的活动,所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是,如果X是有限的并且等价类都是等势的,则X/ \sim的序是X除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合X

对于任何等价关系,都有从XX/ \sim的一个规范投影映射π,给出为π(x) = [x]。这个映射总是满射的。在X有某种额外结构的情况下,考虑保持这个结构的等价关系,接着称这个结构是良好定义的,而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象;从a到[a]的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系

例子[编辑]

  • 如果X是轿车的集合,而~是“颜色相同”的等价类,则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。X / ~自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
  • 考虑在整数集合\mathbb{Z}上的“2” ﹝見同餘﹞等价关系: x \sim y当且仅当x - y偶数。这个关系精确的引发两个等价类: [0]由所有偶数组成,[1]由所有奇数组成。在这个关系下[7] [9]和[1]都表示\mathbb{Z}/ \sim的同一个元素。
  • 有理数可以构造为整数的有序对 (a,b)的等价类的集合,b不能为零,这里的等价关系定义为
(a,b) ~ (c,d)当且仅当ad = bc
这里的有序对 (a,b)的等价类可以被认同于有理数a/b
  • 任何函数f : XY定义在X上的等价关系,通过x1 ~ x2 当且仅当f(x1) = fx2)。x的等价类是在X中被映射到f(x)的所有元素的集合,就是说,类[x]是f(x)的逆像。这个等价关系叫做f
  • 给定G子群H,我们可以定义在G上的等价关系,通过x ~ y当且仅当xy -1H。这个等价类叫做HG中的右陪集;其中之一是H自身。它们都有同样数目的元素(在无限H的情况下是)。如果H正规子群,则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。
  • 所有群都可以划分成叫做共轭类的等价类。
  • 连续映射f同伦类是所有同伦于f的所有映射的等价类。
  • 自然语言处理中,等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如,在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的,所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。

性质[编辑]

因为等价关系的a在[a]中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成X划分:所有X的元素属于一且唯一的等价类。反过来,X的所有划分也定义了在X上等价关系。

它还得出等价关系的性质

a ~ b当且仅当[a] = [b]。

如果~是在X上的等价关系,而P(x)是x的元素的一个性质,使得只要x ~ y, P(x)为真如果P(y)为真,则性质P被称为良好定义的或在关系~下“类恒定”的。常见特殊情况出现在f是从X到另一个集合Y的时候;如果x1 ~ x2蕴涵f(x1) = f(x2)则f被称为在~下恒定的类,或简单称为在~下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数f的后者情况可以被表达为交换三角关系.参见不變量

参见[编辑]