等变映射

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数学中,一个等变映射equivariant map)是两个集合之间与群作用交换的一个函数。具体地,设 G 是一个XY 是两个关联的 G-集合。一个函数 f : XY 称为等变,如果

f(g·x) = g·f(x)

对所有 gGxX 成立。注意如果其中一个或两个作用是右作用,则等变条件必须适当地修改:

f(x·g) = f(xg ; (右-右)
f(x·g) = g−1·f(x) ; (右-左)
f(g·x) = f(xg−1 ; (左-右)

等变映射是 G-集合范畴(对一个取定的 G)中的同态。从而它们也称为 G-映射G-同态G-集合的同构就是等变双射

等变条件也能理解为下面的交换图表。注意 g\cdot 表示映射取元素 z 得到 g\cdot z

Equivariant commutative diagram.png

交结映射[编辑]

G线性表示,由一个完全类似的定义。具体地说,如果 XYG 的两个线性表示的表示空间,则一个线性映射 f : XY 称为这个表示的一个交结映射intertinig map 或 intertwiner)如果它与 G 的作用交换。从而一个交结算子是两个线性表示/作用时等变映射的特例。

或者,G K 上表示的交结映射与 K[G]-的一个模同态是同一个东西,这里 K[G]是 G群环

在某些情形,如果 XY 都是不可约表示,则一个交结映射(若不是零映射)只有两个表示等价(即作为同构的)时才存在。这样的交结映射除了差一个乘法因子(K 中一个非零标量)是惟一的。这些性质当 K[G] 的像是具有中心 K d的单代数时成立(由所谓的舒尔引理:参见单模)。作为一个推论,在一些重要情形构造一个交结映射足够证明表示同样是有效的。

范畴描述[编辑]

等变映射可以直截了当地推广到任意范畴。任何群 G 可以视为一个具有一个对象的范畴(这个范畴中的态射就是 G 的元素)。给定任意范畴 C,在这个范畴 CG 的一个表示是从 GC 的一个函子。这样一个函子选出 C 的一个对象和这个对象的自同构的一个子群。例如,一个 G-几何等价于从 G集合范畴 Set 的一个函子,而线性表示等价于到一个域 K 上的向量空间范畴 VectK 的一个函子。

给定 GC 中两个表示, ρ 和 σ,这两个表示之间一个等变映射不过是从 ρ 到 σ 的一个自然变换。把自然变换做为态射,我们可以构造 GC 中所有表示的范畴。这恰是函子范畴 CG

另一个例子,取 C = Top 拓扑空间范畴GTop 中一个表示是一个拓扑空间G 连续作用它上面。则等变映射是表示之间的一个连续映射 f : XY,且与 G 的作用交换。