等差数列

等差数列（又名算术数列）是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列$3, 5, 7, 9, 11, 13, \cdots$ 就是一个等差数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之差都等于2，即公差为2。

通项公式

如果一个等差数列的首项标为$\ a_1$，公差标为$\ d$，那么该等差数列第$\ n$项的表达式为：

$\ a_n=a_1+(n-1)d$

等差数列的任意两项之间存在关系：

$\ a_n=a_m+(n-m)d$

和为 S_n 首项 a₁ 末项 a_n 公差d 项数n

等差中項

给定任一公差为$\ d$的等差数列 $a_n=a_1+(n-1)d\quad , n>1$。從第二项$\ a_2$開始，前一項加後一項的和的値為該項的兩倍。 例：$\ a_1+ a_3=2a_2$

證明：

設$a_{n-1}+a_{n+1} \neq 2a_n$，

則

$a_1+(n-2)d+a_1+(n)d\neq2[a_1+(n-1)d]$

∵$2a_1+2nd-2d\neq2a_1+2nd-2d$(矛盾)

∴$\ a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n$

证毕

等差数列的和

等差数列的和称为等差级数。

公式

一个公差为$d$的等差数列$a_1,a_2,\dots,a_n$前$n$项的级数为：

$S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\sum_{i=0}^{n-1} (a_1+id)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}.$

等差级数在中文教科書中常表达为:

一个等差数列的和等于其首项与末项的和乘以项数除以2。

通常认为数学家高斯在小时候就发现这个公式。在他三年级的时候，他的老师让学生们做从1加到100【1+2+3+4+……+100】的习题。高斯很快发现数列的规律，用上面的公式得出了5050的答案。但显然可以肯定的是，在远远比这更早的古希腊甚至古埃及，就已经有人掌握了等差数列的这种求和的方法。

证明

将一个等差级数写作以下两种形式：

$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$

$S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n$

将两公式相加来消掉公差$d$:

$\ 2S_n=n(a_1+a_n)$

整理公式，并且注意 $\ a_n = a_1 + (n-1)d$，我们有:

$S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}$

证毕 （上述言论有部分不甚完整，还望谅解）

性质

所有等差数列的等差级数均可表示为$\ S_n=pn^2+qn$的形式($\ p$、$\ q$为常数)，其中公差$\ d = 2p$，首项$\ a_1 = p + q$。

如果以$S_n$表示新数列的公差为等差级数，则数列{$S_n , S_{2n}-S_n , S_{3n}-S_{2n} , \cdots$}也是等差数列。而且新数列的公差为$n^2d$。

等差数列的积

等差数列的积较其和的公式复杂。给定一首项为$\ a_1$，公差为$\ d$ 且其首项为正整数 $\ (a_1\in\mathbb{Z}^+)$ 的等差数列，其前$\ n$项的积写作：

$a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}}$

其中 $x^{\overline{n}}$ 为$\ x$的$\ n$次上升阶乘幂。 注意，该公式对于首项不是正数的等差数列并不适用。等差数列的积的公式是基于阶乘定义的一个推广。

等差数列的一些其他性质

如果$m+n=p+q$，那么对于等差数列{$a_n$}，则有：

$a_m+a_n=a_p+a_q$

需要注意的是，以下式子并不一定成立：

$a_m+a_n=a_{m+n}$

当m≠n时，有 $S_{m+n}=\frac{(S_m-S_n)(m+n)}{m-n}$

参见

• 等比数列

参考文献

• Sigler, Laurence E. (trans.). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. 2002: 259–260. ISBN 0-387-95419-8.