等差数列

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等差数列(又名算术数列)是数列的一种。在等差数列中,任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列3, 5, 7, 9, 11, 13, \cdots 就是一个等差数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之差都等于2,即公差为2。

通项公式[编辑]

如果一个等差数列的首项标为\ a_1,公差标为\ d,那么该等差数列第\ n项的表达式为:

\ a_n=a_1+(n-1)d

等差数列的任意两项之间存在关系:

\ a_n=a_m+(n-m)d

和为 Sn 首项 a1 末项 an 公差d 项数n ,同时可得

\ d=(a_n-a_m)/(n-m)

等差中項[编辑]

给定任一公差为\ d的等差数列 a_n=a_1+(n-1)d\quad , n>1。從第二项\ a_2開始,前一項加後一項的和的値為該項的兩倍。 例:\ a_1+ a_3=2a_2

證明:

a_{n-1}+a_{n+1} \neq 2a_n

a_1+(n-2)d+a_1+(n)d\neq2[a_1+(n-1)d]
2a_1+2nd-2d\neq2a_1+2nd-2d(矛盾)
\ a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n

证毕

等差数列的和[编辑]

等差数列的和称为等差级数

公式[编辑]

一个公差为d的等差数列a_1,a_2,\dots,a_nn项的级数为:

S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\sum_{i=0}^{n-1} (a_1+id)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}.

等差级数在中文教科書中常表达为:

一个等差数列的和等于其首项与末项的和乘以项数除以2。

通常认为数学家高斯在小时候就发现这个公式。在他三年级的时候,他的老师让学生们做从1加到100【1+2+3+4+……+100】的习题。高斯很快发现数列的规律,用上面的公式得出了5050的答案。但显然可以肯定的是,在远远比这更早的古希腊甚至古埃及,就已经有人掌握了等差数列的这种求和的方法。

证明[编辑]

将一个等差级数写作以下两种形式:

 S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)
 S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n

将两公式相加来消掉公差d:

\ 2S_n=n(a_1+a_n)

整理公式,并且注意 \ a_n = a_1 + (n-1)d,我们有:

 S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}

证毕 (上述言论有部分不甚完整,还望谅解)

幾何方法[编辑]

範例:1+2+3+...+10=? 示範影片

如影片中所示:以面積為1單位、2單位、3單位...、10單位的長方形排成圖形

再拿一整組同樣大小的長方形反向排列,得一大長方形,而其面積除以二即為等差級數的和

原理同:

1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{(1+10)+(2+9)+(3+8)+\dots+(10+1)}{2} = \frac{(1+10)\times 10}{2} = 55.

以幾何方法計算等差級數 示範影片

S_n = a_1+a_2+\dots+a_n
S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)
S_n= \frac{[a_1+[a_1+(n-1)]]\times n }{2} = \frac{[2a_1+(n-1)d] \times n}{2}.

也就是我們所熟悉的:S_n=上底加下底乘以高除以二。

性质[编辑]

所有等差数列的等差级数均可表示为\ S_n=pn^2+qn的形式(\ p\ q为常数),其中公差\ d = 2p,首项\ a_1 = p + q

如果以S_n表示新数列的公差为等差级数,则数列{S_n  , S_{2n}-S_n , S_{3n}-S_{2n} , \cdots}也是等差数列。而且新数列的公差为n^2d

等差数列的积[编辑]

等差数列的较其和的公式复杂。给定一首项为\ a_1,公差为\ d 且其首项为正整数 \ (a_1\in\mathbb{Z}^+) 的等差数列,其前\ n项的积写作:

a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}}

其中 x^{\overline{n}}\ x\ n上升阶乘幂。 注意,该公式对于首项不是正数的等差数列并不适用。等差数列的积的公式是基于阶乘定义的一个推广。

等差数列的一些其他性质[编辑]

如果m+n=p+q,那么对于等差数列{a_n},则有:

a_m+a_n=a_p+a_q

当m≠n时,有 S_{m+n}=\frac{(S_m-S_n)(m+n)}{m-n} 证明如下:

     S_{m+n}=a(m+n)+\frac{(m+n)(m+n-1)d}{2}
    \frac{S_{m+n}(m-n)}{m+n}=a(m-n)+\frac{(m^2-n^2-m+n)d}{2}
    \frac{S_{m+n}(m-n)}{m+n}=am+\frac{m(m-1)d}{2}-an-\frac{n(n-1)d}{2}=S_{m}-S_{n}
    S_{m+n}=\frac{(S_m-S_n)(m+n)}{m-n}

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Sigler, Laurence E. (trans.). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. 2002: 259–260. ISBN 0-387-95419-8.