等差-等比数列

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数学上,等差-等比数列(arithmetico-geometric sequence)是一个等差数列与一个等比数列相乘的积。

通项公式[编辑]

等差-等比数列有如下通项公式;[1]

[a+(n-1)d] r^{n-1}

其中r公比,而rn-1的系数:

[a+(n-1)d]

则是等差数列的项,其首项為a,公差d

等差-等比数列的求和公式[编辑]

等差-等比级数有如下形式;

\sum_{k=1}^n \left[a+(k-1)d\right]r^{k-1} = a + (a+d)r + (a+2d)r^2 + \cdots + [a+(n-1)d]r^{n-1}

其前n项之和为;

S_n = \sum_{k=1}^n \left[a+(k-1)d\right]r^{k-1} = \frac{a}{1-r}-\frac{[a+(n-1)d]r^n}{1-r}+\frac{dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^2}.

导出[编辑]

由此级数开始:[2]

S_n = a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}

Sn乘以r

r S_n = ar+(a+d)r^2+(a+2d)r^3+\cdots +(a+(n-1))r^n

Sn减去rSn

\begin{align} 
S_n(1-r) &=&\left[a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots +[a+(n-1)]r^{n-1}\right] \\ 
& &- \left[ar+(a+d)r^2+(a+2d)r^3+\cdots + [ a+(n-1) ] r^n\right] \\
& = & a+ \left[ rd + r^2d + \cdots \right] - [ a+d(n-1) ] r^n \\
& = & a + \left[ \frac{rd(1-r^{n-1})}{1-r}\right]-[a+(n-1)d]r^n\end{align}

在中间的项中使用等比数列的求和公式。最后左右两边同除以(1 − r),得到最终结果。

无穷级数[编辑]

如果 -1 < r < 1,那么其无穷级数为[3]

\lim_{n \to \infty}S_{n} = \frac{a}{1-r}+\frac{dr}{(1-r)^2}

如果r在上述范围之外,则该级数不是发散级数就是交错级数

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence. Mathematical methods for physics and engineering 3rd. Cambridge University Press. 2010. 118. ISBN 978-0-521-86153-3. 
  2. ^ K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence. Mathematical methods for physics and engineering 3rd. Cambridge University Press. 2010. 118. ISBN 978-0-521-86153-3. 
  3. ^ K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence. Mathematical methods for physics and engineering 3rd. Cambridge University Press. 2010. 118. ISBN 978-0-521-86153-3.