等時降線

等時降線上的四個質點釋放位置不同，但到達最低點的時間相等。

等時降線(tautochrone curve或isochrone curve)是一種曲線，將一質點放置在此曲線上任一點使其自由下滑(不計阻力)至最低點所需的時間皆相等。此曲線的解是擺線，而下滑所需的時間與擺線繞轉圓的半徑平方根成正比，與重力場強度的平方根成反比。

等時降落問題

等時降落問題(The tautochrome problem)即為尋找等時降線的問題。等時降落問題最早由惠更斯解出。在他1673年出版的著作裡，利用了幾何的方法證明了此線的解為一擺線，而此問題後來也被利用來解決最速降線問題1690年，白努利用微積分推導出了最速降線問題的解亦為擺線。不久以後，拉格朗日與歐拉也運用了解析法解出了等時降落問題。

解析

將質點放在一曲線上，則質點下滑的時間與最低點和釋放點之間的長度無關。簡諧運動也具有類似的性質。如果一個質點只受到一個定點方向，與兩點間距離成正比的力作用，則此物體自由釋放後將會做簡諧運動，且無論釋放點的位置，此質點作簡諧運動的週期皆相同。故我們可以假設在等時降線上運動的物體與作簡諧運動的物體有相似的行為，即

$\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d}t^2}=-k^2 s$

其中$s$為最低點與質點之間的弧長。假定釋放時$t=0$，我們可解得

$s=s_0\cos{kt}$

$s_0$為最低點與釋放點間的弧長，而在最低點時$s=0$，故下滑所需的時間有

$k t_0 =\frac{\pi}{2},\ t_0 =\frac{\pi}{2k}$

而且一個沿斜面自由下滑的物體，其加速度為

$\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d}t^2}=g\sin\theta$

其中 為曲線與水平面之間的夾角，綜合上述得

$-k^2 s=g\sin\theta$

所以$s$對$\theta$的變化率有

$-k^2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=g\cos\theta$

$\mathrm{d}s=-\frac{g}{k^2}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$

所以，

$\mathrm{d}x=\cos\theta\,\mathrm{d}s=-\frac{g}{k^2}\cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta=-\frac{g}{2 k^2}\left(1+\cos{2\theta}\right)\mathrm{d}\theta$

$x=\int\left[-\frac{g}{2 k^2}\left(1+\cos{2\theta}\right)\mathrm{d}\theta\right]=-\frac{g}{4 k^2}\left(2\theta+\sin{2\theta}\right)+x_0$

以及，

$\mathrm{d}y=\sin\theta\,\mathrm{d}s=-\frac{g}{k^2}\sin\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta=-\frac{g}{2 k^2}\sin{2\theta}\,\mathrm{d}\theta$

$y=\int\left(-\frac{g}{2 k^2}\sin{2\theta}\,\mathrm{d}\theta\right)=\frac{g}{4 k^2}\cos{2\theta}+y_0$

我們假設$\phi=-2\theta$以及$r=\frac{g}{4 k^2}$，得

$x=r\left(\phi+\sin\phi\right)+x_0$

$y=r\cos\phi+y_0$

此方程式為一標準的擺線方程式，且繞轉圓的半徑為$\frac{g}{4 k^2}$。

反過來說，

$k=\sqrt{\frac{g}{4r}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{r}}$

所以下滑所需的時間為

$t_0 =\frac{\pi}{2k}=\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$

參見

• 擺線
• 最速降線問題
• 簡諧振子