等比数列

等比数列（又名几何数列）：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列$2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots$。

这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，$2^{198}$与$2^{197}$的比也等于2。如2这样后一项与前一项的比称公比，符号为$q$。

公式

公比公式

根据等比数列的定义可得：

$q=\frac {a_n}{a_{n-1}} \left(n\ge2\right)$

通项公式

可以任意定义一个等比数列$\left\{a_n\right\}$

这个等比数列从第一项起分别是$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$，公比为$q$，则有：

$a_2=a_1q$，

$a_3=a_2q=a_1q^2$，

$a_4=a_3q=a_1q^3$，

$\cdots$，

以此类推可得，等比数列$\left\{a_n\right\}$的通项公式为：

$a_n=a_{n-1}q=a_1q^{n-1}$，

求和公式

对上所定义的等比数列，即数列$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$。将所有项累加。

于是把$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots$称为等比数列的和。记为$S_n$

如果该等比数列的公比为$q$，则有：

$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$

$=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}$（利用等比数列通项公式） (1)

先将两边同乘以公比q，有：

$qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^n$

该式减去(1)式，有：

$(q-1)S_n=a_1q^n-a_1$ (2)

然后进行一定的讨论

当$q\ne1$时，$S_n=\frac {a_1(q^n-1)}{q-1}$

而当$q=1$时，由(2)式无法解得通项公式。

但可以发现，此时：

$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$

$=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}$

$=a_1+a_1+a_1+\cdots+a_1$

$=na_1$

• 综上所述，等比数列$\left\{a_n\right\}$的求和公式为：

$S_n=\left\{ \begin{array}{lcl} \frac {a_1-a_1q^n}{1-q}, & & (q \neq 1) \\ na_1, & & (q=1) \end{array} \right.$

• 经过推导，可以得到另一个求和公式：当q≠1时

${{S}_{n}}=\frac{{{a}_{1}}({1 - {q}^{n}})}{1 - q}=\frac{{{a}_{1}}{{q}^{n}} - {{a}_{1}}}{q - 1}$

當0≤q<1時，等比數列無限項之和

由於當$0\le q<1$及$n$的值不斷增加時,$q^n$的值便會不斷減少而且趨於0,因此無限項之和:

$S=\lim_{n \rightarrow +\infty } S_n = \lim_{n \rightarrow +\infty } \frac {a_{1}-a_{1} q^{n}}{1-q} = \frac {a_1}{1-q}$

性质

如果数列$\left\{a_n\right\}$是等比数列，那么有以下几个性质：

• $a_n=a_mq^{n-m} (m,n\in \mathbb{N^*},n>m)$

证明：当$m,n\in \mathbb{N^*},n>m$时，$a_mq^{n-m}=a_1q^{m-1}\times q^{n-m}=a_1q^{n-1}=a_n$

• 对于$m,n,s,t\in \mathbb{N^*}$，若$\!m+n=s+t$，则$a_m\cdot a_n=a_s\cdot a_t$

证明：$a_m\cdot a_n=a_1q^{m-1}\cdot a_1q^{n-1}=a_1\cdot a_1\cdot q^{n+m-2}$

∵$\!m+n=s+t$

∴$a_m\cdot a_n=a_1\cdot a_1\cdot q^{s+t-2}=a_1q^{s-1}\cdot a_1q^{t-1}=a_s\cdot a_t$

• 等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列$\left\{a_n\right\}$中有三项$\!a_i$，$\!a_j$，$\!a_k$，其中$j-i=k-j\ge1$，则有$a_j^2=a_ia_k$

• 在原等比数列中，每隔$k$项$(k\in \mathbb{N^*})$取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。

• $a_1\cdot a_2,a_3\cdot a_4,a_5\cdot a_6 \cdots$也成等比数列。

参见

• 等差数列

等比数列求和公式的n种求法