策梅洛集合论

Zermelo 集合论，设立自恩斯特·策梅洛在1908年的重要论文，它是现代集合论的祖先。它与它的后代有特定的差别，经常被误解并经常被误引用。本文架设最初的公理，带有最初的文本(从德文译成了英文)和编号。

Zermelo 集合论的公理

• 公理 I。外延性公理(Axiom der Bestimmtheit)：“如果一个集合 M 的所有元素也是 N 的元素，反之亦然 ... 则 M = N。简要的说，所有集合确定自它的元素”。
• 公理 II。基本集合公理 (Axiom der Elementarmengen)：“存在(假想的)集合，空集合 $\varnothing$，它根本不包含元素。如果 a 是域的任何元素，存在一个集合 {a} 包含 a 并只包含 a 作为元素。如果 a 和 b 是域的任何两个元素，总是存在一个集合 {a, b} 包含 a 和 b 作为元素，而不包含不同于它们二者的对象 x”。参见空集公理、对集公理。
• 公理 III。分离公理(Axiom der Aussonderung)：“只要命题函数 –(x) 对于一个集合 M 的所有元素是明确的，则 M 拥有一个子集 M'  精确的包含 M 的使 –(x) 为真的那些元素作为元素”。
• 公理 IV。幂集公理(Axiom der Potenzmenge)：“对于所有集合 T 都对应着一个集合 T' ，T 的幂集，精确的包含 T 的所有子集作为元素”。
• 公理 V。并集公理(Axiom der Vereinigung)：“对于所有集合 T 都对应着一个集合 ∪T，T 的并集，精确的包含 T 的元素们的所有元素作为元素”。
• 公理 VI。选择公理(Axiom der Auswahl)：“如果 T 是其元素都是不同于 $\varnothing$ 并且相互无交的集合们的集合，它的并集 ∪T 包含至少一个子集 S₁ 有一个且只有一个元素公共于 T 的每个元素”。
• 公理 VII。无穷公理(Axiom des Unendlichen)：“在域中存在至少一个集合 Z 包含空集作为一个元素，并且对于它的每个元素 a 都对应着形如 {a} 的进一步元素而构成的，换句话说，对于它的每个元素 a 它也包含对应的集合 {a} 作为元素”。

与标准集合论的联系

公认的标准集合论是 Zermelo-Fraenkel 集合论。其中没有“基本集合公理”的完全对应者。(后来证实单元素集合可以从所谓的“对集公理”推导出来。如果 a 存在，a 和 a 存在，所以 {a,a} 存在。通过外延性 {a,a} = {a}。) 空集公理已经被无穷公理所假定，现在不被包括为它的一部分了。

这里的公理不包括正规公理和替代公理。它们是 Thoralf Skolem 在1922年基于同一年早些时候 Adolf Fraenkel 的工作而增加的。

在现代 ZFC 系统中，在分离公理中提及的“命题函数”被解释为“可用带有参数的一阶公式定义的任何性质”。“一阶公式”的概念在 1904 年 Zermelo 发表他的公理的时候是未知的，而他后来拒绝这种解释因为太受限制了。

在通常的 ZFC 集合论的累积层次 V_α (对于序数 α)中，对于大于第一个无限序数 ω 的极限序数 α 的集合 V_α 之一形成了 Zermelo 集合论的模型。所以 Zermelo 集合论的相容性是 ZFC 集合论的一个定理。Zermelo 的公理不允许很多无限基数的存在；例如，在 Zermelo 集合论的模型 V_ω+ω 中对于有限序数 α 只有无限基数 $\aleph_\alpha \$。

无穷公理现在通常被修改为断言第一个无限冯·诺伊曼序数 $\omega \$ 的存在性；有意思的是观察到最初的 Zermelo 公理不能证明这个集合的存在，而修改后的 Zermelo 公理也不能证明 Zermelo 的无穷公理。Zermelo 的公理(最初的或修改后的)不能证明 $V_{\omega} \$ 作为一个集合的存在性，也不能证明带有无限标定(index)的累积层次的任何阶的存在性。

Zermelo 论文的目标

介绍声称了集合论学科的真正存在性，“它好像受到从它的原理推导出的特定矛盾或“自相矛盾”的威胁 – 这些原理必然支配我们的思维 – 而完全满意的解决似乎仍未找到。”Zermelo 当然指的是罗素悖论。

他说希望展示康托尔和戴德金的最初理论如何被简约到很少的定义和一些原理或公理。他说他仍未能够证明这些公理是相容的。

分离公理

Zermelo 注解他的系统中的公理 III 负责消除悖论。它不同于康托尔最初的定义。

集合不能用任何任意的逻辑上可定义的概念来独立的定义。它们必须被“分离”为已经“给出”的集合的子集。他说这消除了矛盾性的想法如“所有集合的集合”或“所有序数的集合”。

康托尔定理

Zermelo 的论文因第一次提及康托尔定理而著名。它严格的凭借了集合论的概念，因此不完全同于最初的康托尔对角论证法。

引用

• Zermelo, Ernst. "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I". Mathematische Annalen, 65: 261-281, 1908. English translation, "Investigations in the foundations of set theory" in Heijenoort 1967, pages 199-215.