算术基本定理

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算术基本定理,又称为正整數的唯一分解定理,即:每个大于1的自然数均可写为質數的,而且这些素因子按大小排列之后,写法僅有一種方式。例如:6936 = 2^3 \times 3 \times 17^21200 = 2^4 \times 3 \times 5^2

算术基本定理的内容由两部分构成:

  • 分解的存在性:
  • 分解的唯一性,即若不考虑排列的顺序,正整数分解为素數乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是初等數論中一个基本的定理,也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

證明[编辑]

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说,欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题:若質數p|ab,则不是  p|a,就是p|b。然而,在欧几里得的时代,并没有发展出幂运算和指数的写法,甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的,所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

大於1的自然數必可寫成素數之積[编辑]

反證法:假設存在大於1的自然數不能寫成質數的乘積,把最小的那個稱為n。

自然數可以根据其可除性(是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积)分成3類:質數、合數和1。首先,按照定义,n 大于1。其次,n 不是質數,因為質數p可以寫成質数乘积:p=p,這與假設不相符合。因此n只能是合數,但每个合數都可以分解成兩個严格小于自身而大於1的自然數的積。设n = a \times b,其中ab 都是介于1和n 之间的自然数,因此,按照n 的定义,ab 都可以写成質数的乘积。从而n = a \times b 也可以写成質数的乘积。由此產生矛盾。因此大於1的自然數必可寫成質數的乘積。

唯一性[编辑]

引理:若質數p|ab,则不是  p|a,就是p|b

引理的证明:若p|a 则证明完毕。若p \nmid a,那么两者的最大公约数为1。根据裴蜀定理,存在(m, n) 使得ma + np =1。于是b = b(ma + np) = abm + bnp。 由于p|ab,上式右边两项都可以被p整除。所以p|b

再用反證法:假設有些大于1的自然數可以以多于一种的方式寫成多个質數的乘積,那么假设n 是最小的一個。

首先n 不是質数。將n 用兩種方法寫出:n=p_1 p_2 p_3 \cdots p_r = q_1 q_2 q_3 \cdots q_s 。根據引理,質数p_1|q_1 q_2 q_3 \cdots q_s ,所以q_1, q_2, q_3 \cdots q_s 中有一個能被p_1整除,不妨设为q_1。但q_1也是質数,因此q_1 = p_1 。所以,比n小的正整数n'=p_2 p_3 \cdots p_r也可以写成q_2 q_3 \cdots q_s 。这与n 的最小性矛盾!

因此唯一性得证。

相關[编辑]

在一般的數域中,並不存在相應的定理;事實上,在虛二次域 \mathbb{Q}(\sqrt{-D}) \quad (D \in \mathbb{N}) 之中,只有少數幾個能滿足,最大的一個 DD=163。例如,6 可以以兩種方式在 \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] 中表成整數乘積:2\times 3(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})。同樣的,在分圓整數中一般也不存在唯一分解性,而這恰恰是人們在証明費馬大定理時所遇到的陷阱之一。

歐幾里得在普通整數 \mathbb{Z} 中証明了算術基本定理──每個整數可唯一地分解為素數的乘積,高斯則在複整數 \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] 中得出並証明,只要不計四個可逆元素 (\pm 1, \pm i) 之作用,那麼這個唯一分解定理在 \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] 也成立。高斯還指出,包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能擴大到複數域。

高斯类数[编辑]

大家知道,对于二次方程:ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right),它的根可以表示为:


x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}.

因为负数不能开平方, b^{2}-4ac的符号就很重要,如果为正,有两个根;如果为0,只有一个根;如果为负, 没有实根。欧拉的素数公式::f(x)=x^2+x+41 \qquad \left(a \ne 0 \right)b^{2}-4ac=1-164=-163,两个复数解:


x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt {163}i}{2}.

a+b \sqrt[]{-d},哪个d值使你得到唯一分解定理? d=1,2,3都是可以得到定理,d=5时,就不能够。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解(分解至不可分约的情形)。 6=2×3;6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})。在高斯时代,知道有9个d使得a+b \sqrt[]{-d},所产生的数有唯一因子分解(a,b如上面指出那样取值)。 d=1,2,3,7,11,19,43,67,163.高斯认为不会超过10个数。但是没有人能够证明。 1952年,业余数学家,退休的瑞士工程师庫爾特·黑格納(kurt Heegner)发表了他的证明,声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理:麻省理工学院的斯塔克(H arold Stark)和剑桥大学的阿兰贝克 (AlanBaker)独立用不同方法证明了第10个d值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作,发现他的证明是正确的。 为了记念长期被忽视的希格内尔,上述的9個數被稱為黑格纳数,一些曲线上的点被命名为希格内尔点。 参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。

外部連結[编辑]