算术-几何平均值不等式

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数学中,算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式,表现了两类平均数:算术平均数几何平均数之间恒定的不等关系。设x_1,x_2, \ldots, x_nn 个正实数,它们的算术平均数\mathbf{A}_n =  \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n},它们的几何平均数\mathbf{G}_n = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}。算术-几何平均值不等式表明,对任意的正实数x_1, \ldots, x_n,总有:

\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n

等号成立当且仅当 x_1 = x_2 = \cdots = x_n

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数,是对数函数凹性的体现,在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式(或均值不等式),尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子[编辑]

n=4 的情况,设: x_1 = 3.5,\ x_2 =6.2 ,\  x_3 = 8.4, \  x_4 = 5, 那么

\mathbf{A}_4= \frac{3.5 + 6.2 + 8.4 + 5}{4} = 5.775, \ \mathbf{G}_4 = \sqrt[4]{3.5 \times 6.2 \times 8.4 \times 5} = 5.4945.

可见\mathbf{A}_4 \ge \mathbf{G}_4

历史上的证明[编辑]

历史上,算术-几何平均值不等式拥有众多证明。n=2的情况很早就为人所知,但对于一般的 n,不等式并不容易证明。1729年,英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明,用的是调整法,然而这个证明并不严谨,是错误的。

柯西的证明[编辑]

1821年,法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]

命题P_n:对任意的 n 个正实数x_1, \ldots, x_n\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n

n=2 时,P_2显然成立。假设 P_n 成立,那么 P_{2n} 成立。证明:对于2n 个正实数x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_n

 
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + y_1 + \cdots y_n}{2n} = \ \frac{1}{2} \left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} + \frac{y_1 + \cdots + y_n}{n} \right)
 \ge \ \frac{1}{2}  \left( \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} +   \sqrt[n]{y_1 \cdot y_2 \cdots y_n} \right) 
 \ge \ \sqrt{ \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \cdot \sqrt[n]{y_1 \cdot y_2 \cdots y_n} }
 = \ \sqrt[2n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n y_1 \cdot y_2 \cdots y_n}

假设P_n成立,那么P_{n-1}成立。证明:对于n-1 个正实数x_1, \cdots, x_{n-1} ,设\mathbf{A}_{n-1}= \frac{x_1 + \cdots + x_{n-1} }{n-1} \mathbf{G}_{n-1} = \sqrt[n-1]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1} },那么由于P_n成立, \frac{x_1 + \cdots + x_{n-1} + \mathbf{A}_{n-1}}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1}  \mathbf{A}_{n-1} }

但是 x_1 + \cdots + x_{n-1} = (n-1)\mathbf{A}_{n-1}x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1} = \mathbf{G}^{n-1}_{n-1},因此上式正好变成

\mathbf{A}_{n-1}^n \ge \mathbf{G}^{n-1}_{n-1} \mathbf{A}_{n-1}

也就是说\mathbf{A}_{n-1} \ge \mathbf{G}_{n-1}

综上可以得到结论:对任意的自然数 n \ge 2,命题 P_n 都成立。这是因为由前两条可以得到:对任意的自然数 k,命题 P_{2^k} 都成立。因此对任意的 n \ge 2,可以先找 k 使得 2^k \ge n,再结合第三条就可以得到命题 P_{n} 成立了。

归纳法的证明[编辑]

使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托George Chrystal)在其著作《代数论》(algebra)的第二卷中给出的[2]

由对称性不妨设 x_{n+1}x_1, x_2 \cdots x_{n+1} 中最大的,由于 \mathbf{A}_{n+1} = \frac{n\mathbf{A}_n + x_{n+1}}{n+1} ,设 x_{n+1} = \mathbf{A}_n + b,则 b \ge 0,并且有 \mathbf{A}_{n+1} = \mathbf{A}_n +\frac{b}{n+1}

根据二项式定理

 \mathbf{A}^{n+1}_{n+1} = (\mathbf{A}_n +\frac{b}{n+1})^{n+1} \ge \mathbf{A}^{n+1}_{n} + (n+1)\mathbf{A}^{n}_{n} \frac{b}{n+1} = \mathbf{A}^{n}_{n}(\mathbf{A}_{n} + b ) = \mathbf{A}^{n}_{n}x_{n+1} \ge \mathbf{G}^{n}_{n}x_{n+1}
 = x_1 x_2 \cdots x_{n+1} = \mathbf{G}^{n+1}_{n+1}

于是完成了从 nn+1 的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明[3]

n 的情况下有不等式 \mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_nx_{n+1} + (n-1)\mathbf{G}_{n+1} \ge n \sqrt[n]{ x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1} } 成立,于是:

 \frac{ x_1 + x_2 \cdots +x_n + x_{n+1} + (n-1)\mathbf{G}_{n+1} }{n} \ge \mathbf{G}_n + \sqrt[n]{ x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1}}  \ge 2 \sqrt[2n]{\mathbf{G}^{n}_{n} x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1}}= 2\mathbf{G}_{n+1}

所以 (n+1)\mathbf{A}_{n+1} = x_1 + x_2 \cdots +x_n + x_{n+1} \ge 2n \mathbf{G}_{n+1} - (n-1)\mathbf{G}_{n+1} = (n+1)\mathbf{G}_{n+1},从而有\mathbf{A}_{n+1} \ge \mathbf{G}_{n+1}

基于琴生不等式的证明[编辑]

注意到几何平均数 \mathbf{G}_n 实际上等于 \exp \left( \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} \right),因此算术-几何平均不等式等价于:

\ln { \frac{ x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n} } \ge \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n}

由于对数函数是一个凹函数,由琴生不等式可知上式成立。

基于排序不等式的证明[编辑]

b_i  = \frac{{a_i }} {{{\mathbf{G}}_n }}(i=1,2,3,...,n),于是有 b_1 b_2 \cdots b_n=1,再作代换 b_1  = \frac{{c_1 }}{{c_2 }},b_2  = \frac{{c_2 }}{{c_3 }},\cdots,b_n  = \frac{{c_n }}{{c_1 }},运用排序不等式得到:

\frac{{c_1 }}{{c_2 }} + \frac{{c_2 }}{{c_3 }} + \cdots + \frac{{c_n }}{{c_1 }} \geqslant \frac{{c_1 }}{{c_1 }} + \frac{{c_2 }}{{c_2 }} + ... + \frac{{c_n }}{{c_n }} = n

于是得到 a_1  + a_2  + \cdots + a_n  \geqslant n{\mathbf{G}}_n ,即原不等式成立。

此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广[编辑]

算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几何平均不等式[编辑]

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式,加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设 x_1, \cdots, x_n p_1, \cdots, p_n 为正实数,并且 p_1 + p_2 \cdots + p_n =1 ,那么:

p_1 x_1 +p_2 x_2 \cdots + p_n x_n \ge x^{p_1}_1 x^{p_2}_2 \cdots x^{p_n}_n

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式[编辑]

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵,一样有类似的不等式: 对于系数都是正实数的矩阵

\begin{bmatrix}
  a_{11}      & \cdots & a_{1k}      \\
  \vdots & \ddots & \vdots \\ 
  a_{n1}      & \cdots & a_{nk}
\end{bmatrix}

A_{j} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_{ij} G_{i}=\sqrt[k]{\prod_{j=1}^k a_{ij} },那么有:

\sqrt[k]{A_1 A_2 \cdots A_k} \leqslant \frac{G_1 + G_2 + \cdots + G_n}{n}

也就是说:对 k 个纵列取算术平均数,它们的几何平均小于等于对 n 个横行取的 n 个几何平均数的算术平均。

极限形式[编辑]

也称为积分形式:对任意在区间[0,1]上可积的正值函数 f,都有

\int_{0}^{1} f(x) dx \ge \exp (\int_{0}^{1} \ln f(x) dx )

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 \frac{ x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n}  \ge \exp ( \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} ) 后,将两边的黎曼和中的 n 趋于无穷大后得到的形式。

算數-幾何-調和平均值不等式[编辑]

若再規定x_1,x_2, \ldots, x_n的调和平均数 H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}.

則有

\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n \ge \mathbf{H}_n

且等号依舊成立当且仅当 x_1 = x_2 = \cdots = x_n

證明由算數-幾何平均值不等式知

\frac{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}{n} \ge \sqrt[n]{\frac{1}{x_1} \frac{1}{x_2} \cdots \frac{1}{x_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}}

\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \ge \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}

 \mathbf{G}_n \ge \mathbf{H}_n

且等號成立於

\frac{1}{x_1}= \frac{1}{x_2}= \cdots= \frac{1}{x_n}

 x_1=x_2=\cdots =x_n

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821. p457.
  2. ^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter XXIV.p46.
  3. ^ P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007
  • 匡继昌,《常用不等式》,山东科技出版社。
  • 李胜宏,《平均不等式与柯西不等式》,华东师大出版社。
  • 莫里斯·克莱因(Morris Kline),张理京 张锦炎 江泽涵 译,《古今数学思想》,上海科学技术出版社。
  • 李兴怀,《学科奥林匹克丛书·高中数学》,广东教育出版社。