算符

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物理學裏,算符(operator),又稱算子,作用於物理系統的狀態空間,使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜,需要用很多方程式來表明,假若能夠使用算符來代表,可以更為簡單扼要地表達論述。

對於很多案例,假若作用的對象有所迥異,算符的物理行為也會不同;但是,對於有些案例,算符的物理行為具有一般性,這時,就可以將論題抽象化,專注於研究算符的物理行為,不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性守恆定律的論題。因此,在經典力學裏,算符是很有用的工具。在量子力學裏,算符為理論表述不可或缺的要素。

對於更深奧的理論研究,可能會遇到很艱難的數學問題,算符理論(operator theory)能夠提供高功能的架構,使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂,更能展現出內中物理涵意。

一般而言,在經典力學裏的算符大多作用於函數,這些函數的參數為各種各樣的物理量,算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」,作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

經典力學[编辑]

經典力學裏,粒子(或一群粒子)的動力行為是由拉格朗日量 \mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)哈密頓量 \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) 決定;其中,\mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3,\dots,q_n)\dot{\mathbf{q}}=(\dot{q_1},\dot{q_2},\dot{q_3},\dots,\dot{q}_n) 分別是廣義坐標廣義速度\mathbf{p} =(p_1,p_2,p_3,\dots,p_n)= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf{q}}}共軛動量t 是時間。

假設拉格朗日量 \mathcal{L} 或哈密頓量 \mathcal{H} 與某廣義坐標 q_i 無關,則當 q_i 有所改變時, \mathcal{L}\mathcal{H} 仍舊會保持不變,這意味著粒子的動力行為也會保持不變,對應於 q_i 的共軛動量 p_i 守恆。對於廣義坐標 q_i 的改變,動力行為所具有的不變性是一種對稱性。 在經典力學裏,當研讀有關對稱性的課題時,算符是很有用的工具。

特別而言,假設對於某種 G 的變換運算,物理系統的哈密頓量是個不變量;也就是說,假設 S\in G

S\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})=\mathcal{H}(\mathbf{q}',\ \mathbf{p}')=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})

在這案例裏,所有 G 的元素 S 都是物理算符,能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態;儘管 S 作用於這物理系統,哈密頓量守恆不變。

舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」T_a 能夠將粒子從坐標為 q_i 移動至坐標為 q_i+a ,以方程式表示:

T_a f(q_i)=f(q_i-a)

其中,f(q_i) 是描述一群粒子的密度函數。

給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統,則儘管 T_a 的作用,這物理系統的哈密頓量 \mathcal{H} 是個不變量,對應於坐標 q_i 的動量 p_i 守恆。

經典力學算符表格[编辑]

算符 標記 位置 動量
平移算符 T(\bold{\Delta \bold{r}}) \bold{r}\rightarrow \bold{r} +\Delta \bold{r} \bold{p}\rightarrow \bold{p}
時間演化算符 U(\Delta t) \bold{r}(t)\rightarrow \bold{r}(t+\Delta t) \bold{p}(t)\rightarrow \bold{p}(t+\Delta t)
旋轉算符 R(\bold{\hat{n}},\theta) \bold{r}\rightarrow R(\bold{\hat{n}},\theta)\bold{r} \bold{p}\rightarrow R(\bold{\hat{n}},\theta)\bold{p}
伽利略變換算符 G(\bold{v}) \bold{r}\rightarrow \bold{r} + \bold{v}t \bold{p}\rightarrow \bold{p} + m\bold{v}
宇稱算符 P \bold{r}\rightarrow -\bold{r} \bold{p}\rightarrow -\bold{p}
時間反演算符 \Theta \bold{r}\rightarrow \bold{r}(-t) \bold{p}\rightarrow -\bold{p}(-t)

生成元概念[编辑]

對於一個微小的平移變換,猜測平移算符的形式為

T_{\epsilon}\approx I+\epsilon A

其中, I 是「單位算符」──變換單位元\epsilon 是微小參數,A 是專門用來設定平移變換生成元

為了簡化論述,只考慮一維案例,推導平移於一維空間的生成元。將平移算符 T_\epsilon 作用於函數 f(x)

T_\epsilon f(x)=f(x - \epsilon)

由於 \epsilon 很微小,可以泰勒近似 f(x- \epsilon)

T_\epsilon f(x)=f(x-\epsilon)\approx f(x) - \epsilon f'(x)

重寫平移算符的方程式為

T_\epsilon f(x) = (I-\epsilon \mathrm{D}) f(x)

其中,導數算符 \mathrm{D}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} 是平移群的生成元。

總結,平移群的生成元是導數算符。

指數映射[编辑]

在正常狀況下,通過指數映射,可以從生成元得到整個。對於平移於空間這案例,重複地做 N 次微小平移變換 T_{a/N} ,來代替一個有限值為 a 的平移變換 T_a

T_a f(x)=T_{a/N} \cdots T_{a/N}\ f(x)

現在,讓 N 變得無窮大,則因子 a/N 趨於無窮小:

T_a f(x)=\lim_{N\to\infty} T_{a/N} \cdots T_{a/N} f(x)= \lim_{N\to\infty} (I -(a/N)\mathrm{D})^N f(x)

這表達式的極限為指數函數:

T_a f(x)= e^{-a\mathrm{D}} f(x)

核對這結果的正確性,將指數函數泰勒展開冪級數

T_a f(x) = \left(I - a\mathrm{D} + {a^2\mathrm{D}^2\over 2!} - {a^3\mathrm{D}^3\over 3!} + \cdots \right) f(x)

這方程式的右手邊可以重寫為

f(x) - a f'(x) + {a^2\over 2!} f''(x) - {a^3\over 3!} f'''(x) + \cdots

這正是 f(x-a)泰勒級數,也是 T_a f(x) 的原本表達式結果。

物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容,請參閱條目C*-代数蓋爾范德-奈馬克定理(Gelfand-Naimark theorem)。

量子力學[编辑]

量子力學裏,算符的功能被發揮地淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定,態向量是向量空間單位範數向量。在向量空間內,量子算符作用於量子態,使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變,量子算符必須是么正算符。假若變換前的量子態與變換後的量子態,除了乘法數值以外,兩個量子態相同,則稱此量子態為本徵態,稱此乘法數值為本徵值[1]:11-12

物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量,都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋,每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值,而且,測得這本徵值的機會呈機率性,量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。[2]:106-109

量子算符[编辑]

假設,物理量 O 是某量子系統的可觀察量,其對應的量子算符 \hat{O} 可能有很多不同的本徵值 O_i 與對應的本徵態 |e_i\rang ,這些本徵態 |e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,形成了具有正交歸一性基底[2]:96-99

\lang e_i |e_j\rang=\delta_{ij}

其中,\delta_{ij}克羅內克函數

假設,某量子系統的量子態為

|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang

其中,c_i=\lang e_i |\psi \rang 是複係數,是在 |e_i\rang 裏找到 |\psi\rangle機率幅[1]:50

測量這動作將量子態 |\psi\rang 改變為本徵態 |e_i\rang 的機率為 p_i=|c_i|^2 ,測量結果是本徵值 O_i 的機率也為 p_i

期望值[编辑]

在量子力學裏,重複地做同樣實驗,通常會得到不同的測量結果,期望值是理論平均值,可以用來預測測量結果的統計平均值。

採用狄拉克標記,對於量子系統的量子態 |\psi\rang ,可觀察量 O 的期望值 \lang O\rang 定義為[1]:24-25

 \lang O \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi |\hat{O} | \psi \rang

其中,\hat{O} 是對應於可觀察量 O 的算符。

將算符 \hat{O} 作用於量子態 |\psi\rang ,會形成新量子態 |\phi\rang

|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang=\sum_i  \ c_i\hat{O}| e_i\rang=\sum_i  \ c_i O_i| e_i\rang

從左邊乘以量子態 \lang\psi| ,經過一番運算,可以得到

\lang\psi|\phi\rang =\lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \  c_i O_i\lang\psi| e_i\rang=\sum_i\  |c_i|^2O_i =\sum_i\  p_iO_i

所以,每一個本徵值與其機率的乘積,所有乘積的代數和,就是可觀察量 O期望值

\lang O\rang=\sum_i\  p_iO_i

將上述定義式加以推廣,就可以用來計算任意函數 F(O) 的期望值:

 \langle F( O ) \rangle  = \lang \psi | F( \hat{O} ) | \psi \rang

例如,F( \hat{O} ) 可以是  \hat{O}^2 ,即重複施加算符  \hat{O} 兩次:

\lang O^2 \rang= \lang\psi \vert \hat{O}^2 \vert \psi \rang

對易算符[编辑]

假設兩種可觀察量 AB 的算符分別為 \hat{A}\hat{B} ,它們的對易算符定義為

[\hat{A},\hat{B}]\ \stackrel{def}{=}\ \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}

對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符,當作用於量子態 |\psi\rang 時,會給出

[\hat{A},\hat{B}]|\psi\rang=\hat{A}\hat{B}|\psi\rang-\hat{B}\hat{A}|\psi\rang

假設 [\hat{A},\hat{B}]=0 ,則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」,否則,[\hat{A},\hat{B}]\ne 0 ,稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。

假設兩種可觀察量為不相容可觀察量,則由於不確定原理,絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題,不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗,裝備足夠優良的測量儀器,則對於某些量子系統,測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。[3]

厄米算符[编辑]

每一種經過測量而得到的物理量都是實值,因此,可觀察量 O 的期望值是實值:

\lang O\rang=\lang O\rang^*

對於任意量子態 |\psi\rang ,這關係都成立:

\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang=\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*

根據伴隨算符的定義,假設 \hat{O}^{\dagger}\hat{O} 的伴隨算符,則 \lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*=\lang\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rang 。因此,

\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}

這正是厄米算符的定義。所以,表現可觀察量的算符,都是厄米算符。[2]:96-99

矩陣力學[编辑]

應用基底的完備性,添加單位算符 \hat{I}=\sum_{i}|e_i\rang\lang e_i| 於算符 \hat{O} 的兩旁,可以得到[1]:20-23

\hat{O}=\sum_{i,j}|e_i\rang\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang\lang e_j|=\sum_{ij}O_{i,j}|e_i\rang\lang e_j|

其中,O_{ij}=\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang 是求和式內每一個項目的係數。

所以,量子算符可以用矩陣形式來代表:

\hat{O}\ \stackrel{rep}{=}\  \begin{pmatrix}
O_{11} & O_{12} & \cdots & O_{1n} \\
O_{21} & O_{22} & \cdots & O_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
O_{n1} & O_{n2} & \cdots & O_{nn} \\
\end{pmatrix}

算符 \hat{O} 與它的伴隨算符 \hat{O}^{\dagger} 彼此之間的關係為

\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang=\lang e_j|\hat{O}^{\dagger}|e_i\rang^*

所以,分別代表這兩個算符的兩個矩陣,彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符,代表的矩陣是個實值的對稱矩陣

用矩陣代數來計算算符 \hat{O} 怎樣作用於量子態 |\psi\rang ,假設系統因此變換為量子態 |\phi\rang

|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang

從左邊乘以本徵態  \lang e_i| ,應用基底的完備性,添加單位算符 \hat{I} 於算符的右邊,可以得到

 \lang e_i|\phi\rang= \lang e_i|\hat{O}|\psi\rang=\sum_j \lang e_i|\hat{O}|e_j\rang\lang e_j|\psi\rang=\sum_{ij}O_{ij}\lang e_j|\psi\rang

右矢 |\phi\rang|\psi\rang 分別用豎矩陣來代表

|\phi\rang\ \stackrel{rep}{=}\  \begin{pmatrix}
\lang e_1|\phi\rang \\
\lang e_2|\phi\rang \\
\vdots \\
\lang e_n|\phi\rang \\
\end{pmatrix}
    |\psi\rang\ \stackrel{rep}{=}\  \begin{pmatrix}
\lang e_1|\psi\rang \\
\lang e_2|\psi\rang \\
\vdots \\
\lang e_n|\psi\rang \\
\end{pmatrix}

兩個豎矩陣彼此之間的關係為

\begin{pmatrix}
\lang e_1|\phi\rang \\
\lang e_2|\phi\rang \\
\vdots \\
\lang e_n|\phi\rang \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
O_{11} & O_{12} & \cdots & O_{1n} \\
O_{21} & O_{22} & \cdots & O_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
O_{n1} & O_{n2} & \cdots & O_{nn} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\lang e_1|\psi\rang \\
\lang e_2|\psi\rang \\
\vdots \\
\lang e_n|\psi\rang \\
\end{pmatrix}

假設算符 \hat{O} 是厄米算符,則其所有本徵態都相互正交。[4]以矩陣來代表算符,可以計算出一組本徵值與對應的本徵態,每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質,可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式,就可以找到本徵值 \lambda

 \det\left ( \hat{O} - \lambda\hat{I} \right ) = 0

量子算符表格[编辑]

在這表格裏,算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間,則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符,不是單位向量。

算符名稱 直角坐標系分量表示 向量表示
位置算符 \begin{align} \hat{x} = x \\
\hat{y} = y \\
\hat{z} = z 
\end{align}  \mathbf{\hat{r}} = \mathbf{r}
動量算符 一般狀況

 \begin{align}
\hat{p}_x & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial x} \\
\hat{p}_y & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial y} \\
\hat{p}_z & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial z} 
\end{align}

一般狀況

 \mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \nabla

電磁場

 \begin{align}
\hat{p}_x = -i \hbar \frac{\partial }{\partial x} - qA_x \\
\hat{p}_y = -i \hbar \frac{\partial }{\partial y} - qA_y \\
\hat{p}_z = -i \hbar \frac{\partial }{\partial z} - qA_z 
\end{align}

電磁場(\bold{A}磁向量勢

\mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \nabla - q\bold{A}

動能算符 平移運動

 \begin{align} \hat{T}_x & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} \\
\hat{T}_y & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial y^2} \\
\hat{T}_z & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial z^2} \\
\end{align}

平移運動

 \begin{align} \hat{T} & =  \hat{T}_x+ \hat{T}_y+ \hat{T}_z \\
 & = \frac{-\hbar^2 }{2m}\nabla^2 \\
\end{align}

電磁場

 \begin{align} \hat{T}_x & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial x } - q A_x \right)^2 \\
\hat{T}_y & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial y} - q A_y \right)^2 \\
\hat{T}_z & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial z} - q A_z \right)^2 
\end{align}

電磁場(\bold{A}磁向量勢

 \begin{align} \hat{T} & = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m} \\
 & = \frac{1}{2m}(-i \hbar \nabla - q\bold{A})\cdot(-i \hbar \nabla - q\bold{A}) \\
 & = \frac{1}{2m}(-i \hbar \nabla - q\bold{A})^2
\end{align}

旋轉運動(I轉動慣量

 \begin{align} 
\hat{T}_{xx} & = \frac{\hat{J}_x^2}{2I_{xx}} \\
\hat{T}_{yy} & = \frac{\hat{J}_y^2}{2I_{yy}} \\
\hat{T}_{zz} & = \frac{\hat{J}_y^2}{2I_{zz}} \\
\end{align}

旋轉運動

 \hat{T} = \frac{\bold{\hat{J}}\cdot\bold{\hat{J}}}{2I}

勢能算符 N/A  \hat{V} = V\left ( \mathbf{r}, t \right )
能量算符 N/A 含時位勢:

 \hat{E} = i \hbar \frac{\partial }{\partial t}

不含時位勢:
 \hat{E} = E

哈密頓算符 N/A  \begin{align} \hat{H} & = \hat{T} + \hat{V} \\
& = \frac{\bold{\hat{p}}\cdot\bold{\hat{p}}}{2m} + V \\
& = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V \\
\end{align}
角動量算符 \begin{align}
\hat{L}_x & = -i\hbar \left(y {\partial\over \partial z} - z {\partial\over \partial y}\right)\\
\hat{L}_y & = -i\hbar \left(z {\partial\over \partial x} - x {\partial\over \partial z}\right)\\
\hat{L}_z & = -i\hbar \left(x {\partial\over \partial y} - y {\partial\over \partial x}\right)
\end{align} \mathbf{\hat{L}} = -i\hbar \mathbf{r} \times \nabla
自旋算符 \begin{align}\hat{S}_x = {\hbar \over 2} \sigma_x\\
\hat{S}_y = {\hbar \over 2} \sigma_y\\
\hat{S}_z = {\hbar \over 2} \sigma_z 
\end{align}

其中,


\sigma_x = \begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}


\sigma_y = \begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}


\sigma_z = \begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}

自旋1/2粒子的包立矩陣

\mathbf{\hat{S}} = {\hbar \over 2} \boldsymbol{\sigma}

其中,向量 \boldsymbol{\sigma} 的分量是包立矩陣。

總角動量算符 \begin{align}
\hat{J}_x & = \hat{L}_x + \hat{S}_x\\
\hat{J}_y & = \hat{L}_y + \hat{S}_y\\
\hat{J}_z & = \hat{L}_z + \hat{S}_z
\end{align} \begin{align}
\mathbf{\hat{J}} & = \mathbf{\hat{L}}+\mathbf{\hat{S}} \\
& = -i\hbar \bold{r}\times\nabla + \frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma} 
\end{align}
躍遷矩(電)
(transition moment)
\begin{align}
\hat{d}_x & = qx\\
\hat{d}_y & = qy\\
\hat{d}_z & = qz
\end{align} \mathbf{\hat{d}} = q \mathbf{r}

範例[编辑]

位置算符[编辑]

只思考一維問題,將位置算符 \hat{x} 施加於位置本徵態 |x\rang ,可以得到本徵值 x ,即粒子的位置:[5]:220-221

\hat{x}|x\rang=x|x\rang

由於位置基底具有完整性\hat{I}=\int_{ - \infty}^{\infty}\ | x\rang\lang x|\mathrm{d}x ,任意量子態 |\psi\rang 可以按著位置本徵態形成的基底展開:

|\psi\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ |x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x

將位置算符 \hat{x} 施加於量子態 |\psi\rang ,由於算符 \hat{x} 只作用於右矢  |x\rang ,與其它數學個體無關,可以移入積分式內:

\hat{x}|\psi\rang=\hat{x}\int_{ - \infty}^{\infty}\   |x\rang\lang x|\psi\rang\mathrm{d}x
=\int_{ - \infty}^{\infty}\   \hat{x}|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x
=\int_{ - \infty}^{\infty}\   x|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x

左矢 \lang\psi| 與這方程式的內積為

\lang\psi|\hat{x}|\psi\rang
=\int_{ - \infty}^{\infty}\   x\lang\psi|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x

設定量子態 |\alpha\rang=\hat{x}|\psi\rang 。由於位置基底具有完整性\hat{I}=\int_{ - \infty}^{\infty}\  | x\rang\lang x|\mathrm{d}x ,量子態 \lang\psi||\alpha\rang 的內積,可以按著位置本徵態形成的基底展開為

\lang\psi|\alpha\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\  \lang \psi| x\rang\lang x|\alpha\rang\mathrm{d}x=\int_{ - \infty}^{\infty}\  \lang \psi| x\rang\lang x|\hat{x}|\psi\rang\mathrm{d}x

將這兩個積分式加以比較,立刻可以辨識出全等式

\lang x|\hat{x}|\psi\rang=x\lang x|\psi\rang

設定量子態 |\Psi\rang=\hat{x}|\psi \rang 。量子態 |\Psi\rang|\psi\rang 的位置空間表現,即波函數,分別定義為

\Psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\Psi\rang
\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang

兩個波函數 \Psi(x)\psi(x) 之間的關係為

\Psi(x)=x\psi(x)

總結,位置算符 \hat{x} 作用於量子態 |\psi\rang 的結果 |\Psi\rang ,表現於位置空間,等價於波函數 \psi(x)x 的乘積 \Psi(x)

動量算符[编辑]

表現於位置空間,一維動量算符為

\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}

將動量算符 \hat{p} 施加於量子態 |\psi\rang ,可以得到類似前一節得到的結果:

\lang x|\hat{p}|\psi\rang= -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|\psi\rang

應用位置基底所具有的完整性,對於任意量子態 |\phi\rang ,可以得到更廣義的結果:

\begin{align}\lang \phi|\hat{p}|\psi\rang & =\int_{ - \infty}^{\infty}\  \lang \phi| x\rang\lang x|\hat{p}|\psi\rang\mathrm{d}x \\
 & =\int_{ - \infty}^{\infty}\  \lang \phi| x\rang\left( -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\right)\lang x|\psi\rang\mathrm{d}x \\
 & =\int_{ - \infty}^{\infty}\  \phi^*(x)\left( -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\right)\psi(x)\mathrm{d}x \\
\end{align}

其中,\phi(x)=\lang x|\phi\rang\psi(x)=\lang x|\psi\rang 分別是量子態 |\phi\rang|\psi\rang 表現於位置空間的波函數

假設 |\psi\rang\hat{p} 的本徵態,本徵值為 p ,則可得到

\lang x|\hat{p}|\psi\rang=p\lang x|\psi\rang
= -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|\psi\rang

|\psi\rang 改寫為本徵值為 p 的本徵態 |p\rang ,方程式改寫為

 -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|p\rang =p\lang x|p\rang

這微分方程式的解析解為

\lang x|p\rang=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ipx/\hbar}

所以,動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式,就可以推導求得這出結果。[1]:50-54

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics. 2nd, Addison-Wesley. 2010, ISBN 978-0805382914 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall. 2004, ISBN 0-13-111892-7 
  3. ^ Ballentine, L. E., The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics. 1970, 42: 358-381, doi:10.1103/RevModPhys.42.358 
  4. ^ Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
  5. ^ 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修, 費曼物理學講義 III 量子力學(3) 薛丁格方程式, 台灣: 天下文化書. 2006:  pp. 205-237, ISBN 986-417-672-2