範數 (域論)

在域論，範數是一種映射。

設K為域，L是K的有限代數擴張。將α與L的一個元素相乘，是一個線性變換：

$m_\alpha : L \to L$

N_{L / K}(α)定義為m_α的行列式。

因此可得N_{L / K}的性質：

• $N_{L/K}(\alpha) \in K \forall \alpha \in L$
• N_{L / K}(αβ) = N_{L / K}(α)N_{L / K}(β)

若L / K為伽羅瓦擴張，N_{L / K}(α)是α所有共軛的積，即是α的極小多項式的所有根的積。

代數整數的範數仍是代數整數。

在代數數論亦可為理想定義範數。若I是代數數域K的整數域O_k中的理想，N(I)是O_k / I的剩餘類的數目。

例子

• 複數的範數：對於$a,b \in \mathbb{R}$，對於複數此一實數域擴張，N(a + bi) = (a + bi)(a − bi) = a² + b²，即複數和其共軛複數之積，因為a + bi在$\mathbb{R}$的極小多項式的根是$a \pm bi$。
• 設$L=\mathbb{Q}(\sqrt{2}) , K=\mathbb{Q}, \varphi = (1 + \sqrt{5})/2$（黃金分割）。$N( \varphi ) = (1 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})/4 = 1$，因為它在L的極小多項式是x² − x − 1。