範數 (域論)

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域論範數是一種映射。

KLK的有限代數擴張。將\alphaL的一個元素相乘,是一個線性變換

m_\alpha : L \to L

N_{L/K}(\alpha)定義為m_\alpha的行列式。

因此可得N_{L/K}的性質:

  • N_{L/K}(\alpha) \in K \forall \alpha \in L
  • N_{L/K}(\alpha \beta) = N_{L/K}(\alpha) N_{L/K}(\beta)

L/K伽羅瓦擴張N_{L/K}(\alpha)\alpha所有共軛的積,即是\alpha極小多項式的所有根的積。

代數整數的範數仍是代數整數。

在代數數論亦可為理想定義範數。若I是代數數域K的整數域O_k中的理想,N(I)O_k/I的剩餘類的數目。

例子[编辑]

  • 複數的範數:對於a,b \in \mathbb{R},對於複數此一實數域擴張,N(a+bi) = (a+bi)(a-bi) = a^2+b^2,即複數和其共軛複數之積,因為a+bi\mathbb{R}的極小多項式的根是a \pm bi
  • L=\mathbb{Q}(\sqrt{2}) , K=\mathbb{Q}, \varphi = (1 + \sqrt{5})/2黃金分割)。N( \varphi ) = (1 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})/4 = 1,因為它在L的極小多項式是x^2 - x - 1