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簡諧運動

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简谐运动(或简谐振动谐振SHM(Simple Harmonic Motion))既是最基本也是最简单的一种机械振动。当某物体进行简谐运动时,物体所受的位移成正比,并且力总是指向平衡位置。

如果用F表示物体受到的回復力,用x表示小球对于平衡位置的位移,根据虎克定律,F和x成正比,它们之间的关系可用下式来表示:

F=-kx[1]:161

式中的k是回复力与位移成正比的比例系数;负号的意思是:回复力的方向总跟物体位移的方向相反。

根据牛顿第二定律,F=ma,当物体质量一定时,运动物体的加速度总跟物体所受合力的大小成正比,并且跟合力的方向相同。簡諧運動系統的機械能守恆

动力学方程[编辑]

对于一维的简谐振动,其动力学方程是二阶微分方程,可由牛顿第二运动定律得到

F=ma=m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}=m\ddot x

回复力又可表示为F=-kx

所以有\ddot x+\frac{k}{m}x=0

求解上述方程,得到的的解含有正弦函数

 x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right),其中
 \omega = \sqrt{\frac{k}{m}},
 A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2},
 \tan \varphi = \left(\frac{c_2}{c_1}\right),

c1c2是由初始条件决定的常数。取平衡位置为原点,每项都有物理意义:A是振幅,ω = 2πf是角频率,φ是相位。

利用微积分,速度和加速度可以作为时间的函数得到

 v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sin(\omega t+\varphi)
v_{max}=\omega A(在平衡位置)
 a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t+\varphi)
a_{max}=\omega^2 A(在最大位移处)

加速度也可以作为位移的函数被得到

 a(x) = -\omega^2 x\!

因为ω = 2πf

f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}

又因为周期T = 1/f,所以:T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

以上方程说明了简谐振动具有等时性,即一个做简谐振动的质点运动周期和振幅以及相位无关。[1]:163

弹簧振子[编辑]

将一个有孔小球体与一个弹簧连在一起,将一个极为光滑的水平杆穿入小球体,使球体可以在水平杆上左右滑动,而球体与水平杆的摩擦力小得可以忽略不计。将弹簧的一端固定住,弹簧的整体质量要比球体质量小得多,这样弹簧本身质量也可以忽略不计。这个系统便是一个弹簧振子。

弹簧振子系统在平衡状态下,弹簧没有形变,振子(小球体)在平衡位置保持静止。若把振子拉过平衡位置,到达最大幅度,再松开,弹簧则会将振子向平衡位置收回。在收回的过程中,弹簧的势能转换为振子的动能,势能在降低的同时,动能在增加。当振子到达平衡位置时,振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置,继续向同样的方向移动。但因已越过弹簧振子系统的平衡位置,所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。动能转作势能,动能降低,势能上升,直至到达离平衡位置最大幅度的距离。这时振子所有的动能被转化为势能,振子速度为零,停止运动。势能又迫使振子移回平衡位置,在移动过程中,势能转为动能,因而再次越过平衡位置,重复这个过程。在没有任何其他力影响的完美的条件下,这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。彈簧振子的固有週期固有頻率與彈簧彈力係數和振子質量有關,與振幅大小無關。

振幅、週期和频率[编辑]

1.振幅

振幅A代表质点偏离中心(平衡位置)的最大距离,它正比于\sqrt{E}。,即它的平方正比于系统的机械能E

2.角频率

角频率:\omega=2 \pi f。,频率f为周期T的倒数

其中\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}。。推导过程:

     x = A cos ({ \omega t + \phi })
     对于时间t求导,v = - A \omega sin ({\omega t + \phi}) 
     再关于时间t求导a =- A \omega^{2}cos ({ \omega t + \phi })
     由牛顿第二定律得a = \frac {F}{m} = \frac {-kx}{m} = \frac {- A  cos ({ \omega t + \phi })k}{m}
     两式联立得\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}。。

下图為簡諧運動的圖像,表示的是振動物體的位移隨時間變化的規律。是一條正弦餘弦曲綫。 Simple harmonic motion (zh).png

這個運動是假設在沒有能量損失引致阻尼的情況而發生。振幅描繪了振動的強弱,是標量,大小為最大位移的大小,質點在一次全振動過程中通過的路程等於4倍振幅。完成一次全振動的时间叫週期,單位時間內完成全振動的次数叫頻率,週期和頻率描繪了振動的快慢。

简谐振动的判定[编辑]

(1)如果一个质点在运动中所受的合外力是一个简谐力

    F = - k x 

即合外力的大小与位移成正比且方向相反,那么我们称这个质点的运动是简谐振动。比例系数 k 称为弹簧系数,或称倔强系数。

(2)如果一个质点的运动方程有如下形式

     x = A \cos{( \omega t + \phi)} 

即,质点的位移随时间的变化是一个简谐函数,显然此质点的运动为简谐振动。

(3)如果一个质点的动力学方程可以写成

     a + \omega^2 x = 0 

其中 \omega^2 为正的实数。则质点的运动是一个简谐振动

(4)如果质点在运动过程中具有形式为( \frac{1}{2} k x^2) 的势能,且

     \frac {1}{2} m v^2 + \frac {1}{2} k x^2 = E 
    

则质点的运动为简谐振动

应该说明

(1)以上各判定方法是完全等价的;

(2)以上各表达式中的 x 既可以是线量(线位移),又可以是角量(角位移),相应的,速度可以为线速度和角速度,对应的加速度是线加速度和角加速度。

例子[编辑]

弹簧[编辑]

把质量为M的物体悬挂在劲度系数为k的弹簧的底端,则物体将进行简谐运动,其方程为:

\omega=2 \pi f = \sqrt{\frac{k}{M}}.\,

如果要计算它的周期,可以用以下的公式:

 T= \frac{1}{f} = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k}}

总的能量是常数,由方程 E = \frac{kA^2}{2} 给出。

匀速圆周运动[编辑]

匀速圆周运动的一维投影是简谐运动。如果物体以\omega角频率沿着半径为R的圆移动,则它在x轴、y轴或任意一条直径上的投影就是简谐运动,其振幅为R,频率为\omega[2]:83

单摆[编辑]

在偏角不太大的情况(一般認為小於5°)下,单摆的运动可以近似地视为简谐运动。如果单摆的长度为\ell,重力加速度为g,则周期为:

 T= 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}

这个公式仅当偏角很小时才成立,因为角加速度的表达式是与位置的正弦成正比的:

\ell m g \sin(\theta)=I \alpha

其中I是转动惯量,在这种情况下I = m\ell^2。当\theta很小时,\sin(\theta) \approx \theta,因此上式变为:

\ell m g \theta=I \alpha

这使得角加速度与\theta成正比,满足了简谐运动的定义。單擺的回複力是擺球的重力沿運動方向的分力。[1]:165

参阅[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 赵志敏. 高中物理竞赛教程。基础篇. 复旦大学出版社. 2011年10月. ISBN 978-7-309-08251-7 (中文(中国大陆)‎). 
  2. ^ 沈晨. 更高更妙的物理 第4版. 浙江大学出版社. 2012年5月. ISBN 978-7-308-04609-1 (中文(中国大陆)‎). 

外部連結[编辑]