米田引理

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範疇論中,米田引理斷言一個對象 X 的性質由它所表示的函子 \mathrm{Hom}(X,-)\mathrm{Hom}(-,X)决定。此引理得名于日本數學家暨計算機科學家米田信夫

陳述[编辑]

\mathcal{C} 為一範疇,定義兩個函子範疇如下:

\mathcal{C}^\wedge := \mathrm{Fct}(\mathcal{C}, \mathbf{Set})
\mathcal{C}^\vee := \mathrm{Fct}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set})

並定義兩個函子

h_\mathcal{C}(X) = h_X := \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-,X)
k_\mathcal{C}(X) = k_X := \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,-)

其中 h_\mathcal{C} : C \to \mathcal{C}^\wedgek_\mathcal{C}: C \to \mathcal{C}^\vee

米田引理的抽象陳述如下:

米田引理 . 有自然的同構

\forall X \in \mathcal{C}, A \in \mathcal{C}^\wedge \quad \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^\wedge}(h_X, A) \simeq A(X)
\forall X \in \mathcal{C}, B \in \mathcal{C}^\vee \quad \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^\vee}(B, k_X) \simeq B(X)

這兩個同構對所有變元 A, B, X 都滿足函子性。

對任一對象 Y \in \mathcal{C},在上述同構中分別取 A = h_Y, B = k_Y,便得到米田引理最常見的形式:

推論 . 函子 h_\mathcal{C} : C \to \mathcal{C}^\wedgek_\mathcal{C}: C \to \mathcal{C}^\vee完全忠實的。

應用[编辑]

更多資料:可表函子

由上述推論,範疇中的對象 X 由它所表示的函子 h_Xk_X 唯一確定(至多差一個同調),這是可表函子理論的根基所在。例如在代數幾何中,一個常見的技術是將概形等同於它所代表的函子,後者往往具有直觀的幾何詮釋,技術上亦較容易處理;另一方面,我們也往往從函子的觀點研究空間的商、極限或者是模空間問題,第一步是定義適當的「函子解」,其次再研究它可表與否。代數拓撲中的分類空間也是可表函子概念的體現。

文獻[编辑]

  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部連結[编辑]