米迪定理

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米迪定理說明如果将\frac{a}{p}化为b进制小数(其中p为质数,a是小于p的正整数),且小数的循环节长度是偶数[注 1],则有以下性质:

  • 若將這個分數用循環小數寫成0.\overline{a_1a_2a_3...a_na_{n+1}...a_{2n}},则
  • a_i+a_{i+n}=b-1
  • a_1\dots a_n+a_{n+1}\dots a_{2n}=b^n-1.

這個定理還可再推廣为广义米迪定理:若把长度2n的循环节划分为长度为k的\frac{2n}{k}个组,即0.\overline{a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}\cdots a_{2k}\cdots a_{2n-k+1}a_{2n-k+2}\cdots a_{2n}},则a_1a_2...a_k + a_{k+1}a_{k+2} ... a_{2k} + ... + a_{2n-k+1}a_{l-k+2}...a_{2n}b^k-1的倍數。

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\frac{1}{17}=0.\overline{0588235294117647}(10进制)

循环节长度是16,是偶数,可应用米迪定理。

  • 0+9=10-1,5+4=10-1,8+1=10-1……
  • 05882352+94117647=10^8-1
\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421}(10进制)

循环节长度是18,是偶数,可应用米迪定理。

  • 0+9=10-1,5+4=10-1,2+7=10-1……
  • 052631578+947368421=10^9-1
  • 052631+578947+368421=10^6-1(广义米迪定理,k=6)
  • 052+631+578+947+368+421=2997=3\times (10^3-1)(广义米迪定理,k=3)
\frac{1}{19}=0.\overline{032745}_8
  • 032_8+745_8=777_8
  • 03_8+27_8+45_8=77_8.

定理的证明[编辑]

米迪定理可以用群论中的结果来证明。然而,也可以用算术同余来证明米迪定理:

p为素数,a/p是0与1之间的分数。假设在b进制中,a/p的展开式的周期为l,所以:

\frac{a}{p}=[0.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b
\Rightarrow\frac{a}{p}b^l=[a_1a_2\dots a_l.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b
\Rightarrow\frac{a}{p}b^l=N+[0.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b=N+\frac{a}{p}
\Rightarrow\frac{a}{p}=\frac{N}{b^l-1}

其中N是在b进制中的展开式为a1a2...al的整数。

因为\frac{a}{p}(b^l-1)=N且N为整数,所以b^l-1必为p的倍数。另外,对于任何小于lnbn−1都不是p的倍数,否则在b进制中a/p的周期将小于l,这是不可能的。

现在,假设l=hk。那么bl−1是bk − 1的倍数。设bl − 1 = m(bk − 1),因此:

\frac{a}{p}=\frac{N}{m(b^k-1)}.

bl−1是p的倍数;bk−1不是p的倍数(因为k小于l);且p是素数;因此m一定是p的倍数,且

\frac{am}{p}=\frac{N}{b^k-1}

是整数。也就是说:

N\equiv0\pmod{b^k-1}.

现在,把a1a2...al分成h个长度为k的部分,并设它们在b进制中表示N0...Nh − 1,所以:

N_{h-1}=[a_1\dots a_k]_b
N_{h-2}=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_b
.
.
N_0=[a_{l-k+1}\dots a_l]_b

为了证明b进制中广义的米迪定理,我们必须证明h个整数Ni的和是bk − 1的倍数。

由于bkbk−1除余1,任何bk的幂被bk − 1除也余1。因此:

N=\sum_{i=0}^{h-1}N_ib^{ik}=\sum_{i=0}^{h-1}N_i(b^{k})^i
\Rightarrow N \equiv \sum_{i=0}^{h-1}N_i \pmod{b^k-1}
\Rightarrow \sum_{i=0}^{h-1}N_i \equiv 0 \pmod{b^k-1}

这就证明了b进制中广义的米迪定理。

为了证明原先的米迪定理,取h = 2的特殊情况。注意N0N1b进制中都由k个数字表示,所以都满足

0 \leq N_i \leq b^k-1.

N0N1不能都等于0(否则a/p = 0),也不能都等于bk − 1(否则a/p = 1),因此:

0 < N_0+N_1 < 2(b^k-1)

由于N0 + N1bk − 1的倍数,所以有:

N_0+N_1 = b^k-1.

参考资料[编辑]

  1. ^ 有些质数的循环节长度是奇数,如3、31。

William G. Leavitt. A THEOREM ON REPEATING DECIMALS. The American Mathematical Monthly. 1967-06, 74 (6): 669–673 [2014-12-29]. 

外部链接[编辑]