粘性解

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数学中,粘性解是20世纪80年代早期由Pierre-Louis LionsMichael Crandall作为对偏微分方程(PDE)经典解的扩展而引入的。粘性解在PDE的许多应用中作为解是非常自然的,例如优化控制中的一阶偏微分方程(Hamilton-Jacobi-Bellman equation),differential game中(Isaacs equation),前端演化问题(front evolution problem)[1],还有二阶方程,例如在随机优化控制或随机微分博弈(stochastic differential game)中出现的。

经典的概念是在域x\in\Omega中PDE

 H(x,u,Du) = 0

有解,如果我们能找到在整个域上连续且可微的函数u(x),使得x, uDu(u的微分)在每个点都满足上面的等式。

在粘性解的意义下,u不需要在每个点都可微。可能在有些点上Du不存在,即u中存在扭结(kink)但u在适当意义下满足等式。虽然在某个点上Du可能不存在,但可以使用下面定义的上微分(superdifferential) D^+ u下微分(subdifferential)D^-u代替。

定义1. D^+ u(x_0) = \left\{ p: \limsup_{x_1\rightarrow x_0} \frac{u(x_1)-u(x_0)-p (x_1-x_0)}{|x_1-x_0|}\le 0 \right\}

定义2. D^- u(x_0) = \left\{ p: \liminf_{x_1\rightarrow x_0} \frac{u(x_1)-u(x_0)-p (x_1-x_0)}{|x_1-x_0|}\ge 0 \right\}

一般地,集合\,D^+u\,中的每个\,p\,\,u\,\,x_0\,"斜率"(slope)的一个上界,集合\,D^-u\,中每个\,p\,\,u\,\,x_0\,"斜率"(slope)的一个下界。

定义3. 连续函数u是上面PDE的一个粘性上解 (viscosity supersolution) ,如果满足

H(x,u(x),p)\le 0, \forall x \in \Omega, \forall p \in D^+ u(x)

定义4. 连续函数u 是上面PDE的一个粘性下解 (viscosity supersolution) ,如果满足

H(x,u(x),p)\ge 0, \forall x \in \Omega, \forall p \in D^- u(x).

定义5. 连续函数u 是PDE的一个粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解

粘性解存在不需引入上(下)微分概念的等价定义,见Fleming与Soner书[2]中的第II.4节。

参考文献[编辑]

  1. ^ I. Dolcetta and P. Lions, eds., (1995), Viscosity Solutions and Applications. Springer, ISBN 978-3-540-62910-8.
  2. ^ Wendell H. Fleming, H. M . Soner., eds., (2006), Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions. Springer, ISBN 978-0387-260457.