粘性解

数学中，粘性解是20世纪80年代早期由Pierre-Louis Lions和Michael Crandall作为对偏微分方程(PDE)经典解的扩展而引入的。粘性解在PDE的许多应用中作为解是非常自然的，例如优化控制中的一阶偏微分方程(Hamilton-Jacobi-Bellman equation)，differential game中(Isaacs equation)，前端演化问题(front evolution problem)，还有二阶方程，例如在随机优化控制或随机微分博弈(stochastic differential game)中出现的。

经典的概念是在域$x\in\Omega$中PDE

$H(x,u,Du) = 0$

有解，如果我们能找到在整个域上连续且可微的函数u(x)，使得x, u和Du(u的微分)在每个点都满足上面的等式。

在粘性解的意义下，u不需要在每个点都可微。可能在有些点上Du不存在，即u中存在扭结(kink)但u在适当意义下满足等式。虽然在某个点上Du可能不存在，但可以使用下面定义的上微分(superdifferential) $D^+ u$和下微分(subdifferential)$D^-u$代替。

定义1. $D^+ u(x_0) = \left\{ p: \limsup_{x_1\rightarrow x_0} \frac{u(x_1)-u(x_0)-p (x_1-x_0)}{|x_1-x_0|}\le 0 \right\}$

定义2. $D^- u(x_0) = \left\{ p: \liminf_{x_1\rightarrow x_0} \frac{u(x_1)-u(x_0)-p (x_1-x_0)}{|x_1-x_0|}\ge 0 \right\}$

一般地，集合$\,D^+u\,$中的每个$\,p\,$是$\,u\,$在$\,x_0\,$"斜率"(slope)的一个上界，集合$\,D^-u\,$中每个$\,p\,$是$\,u\,$在$\,x_0\,$"斜率"(slope)的一个下界。

定义3. 连续函数u是上面PDE的一个粘性上解 (viscosity supersolution) ，如果满足

$H(x,u(x),p)\le 0, \forall x \in \Omega, \forall p \in D^+ u(x)$

定义4. 连续函数u 是上面PDE的一个粘性下解 (viscosity supersolution) ，如果满足

$H(x,u(x),p)\ge 0, \forall x \in \Omega, \forall p \in D^- u(x).$

定义5. 连续函数u 是PDE的一个粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解。

粘性解存在不需引入上(下)微分概念的等价定义，见Fleming与Soner书中的第II.4节。