精确覆盖问题

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在一个全集X中若干子集集合为S,精确覆盖(Exact cover)是指,S的子集S*,满足X中的每一个元素在S*中恰好出现一次。[1]

计算机科学中,精确覆盖问题指找出这样的一种覆盖,或证明其不存在。这是一个NP-完全问题[1],也是卡普的二十一个NP-完全问题之一[2]

定义[编辑]

满足以下条件的集合为一个精确覆盖:

  • S*中任意两个集合没有交集,即X中的元素在S*中出现最多一次
  • S*中集合的全集为X,即X中的元素在S*中出现最少一次

合二为一,即X中的元素在S*中出现恰好一次。

举例[编辑]

\mathcal{S} = {N, O, E, P} 是集合X = {1, 2, 3, 4}的一个子集,并满足:

  • N = { }
  • O = {1, 3}
  • E = {2, 4}
  • P = {2, 3}.

其中一个子集 {O, E} 是 X的一个精确覆盖,因为 O = {1, 3} 而 E = {2, 4} 的并集恰好是 X = {1, 2, 3, 4}。同理, {N, O, E} 也是 X.的一个精确覆盖。空集并不影响结论。

关系表示[编辑]

通常我们用S的每个子集与X的元素之间包含关系的二元关系来表示精确覆盖问题。

矩阵表示法[编辑]

包含关系可以用一个关系矩阵表示。. 矩阵每行表示S的一个子集,每列表示X中的一个元素。矩阵行列交点元素为1表示对应的元素在对应的集合中,不在则为0.[3]

通过这种矩阵表示法,求一个精确覆盖转化为求矩阵的若干个行的集合,使每列有且仅有一个1。同时,该问题也是精确覆盖的典型例题之一。

下图为其中一个例子:

1 2 3 4 5 6 7
A 1 0 0 1 0 0 1
B 1 0 0 1 0 0 0
C 0 0 0 1 1 0 1
D 0 0 1 0 1 1 0
E 0 1 1 0 0 1 1
F 0 1 0 0 0 0 1

S* = {B, D, F} 便是一个精确覆盖。

图论表示法[编辑]

包含关系也可以用一个二分图表示。

二分图左侧每个节点表示S的每个集合,右侧每个节点表示X的每个元素,而精确覆盖便是一种匹配,满足右侧的每个点恰好有一条边。

Exact-cover-bigraphExact-cover-bigraph-solved

求解方法[编辑]

X算法高德纳提出的解决该问题的算法,而舞蹈链算法(Dancing Links,DLX)算法是X算法在计算机上的一种高效实现。

应用举例[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 NP Complete, Exact Cover
  2. ^ Stephen Cook. The Complexity of Theorem Proving Procedures//Proceedings of the third annual ACM symposium on Theory of computing. 1971: 151–158. 
  3. ^ 3.0 3.1 Exact Cover Matrix