精細結構

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氫原子的精細結構圖:左邊是波耳能級線譜,中間是經過修正後,線譜的精細結構,右邊是線譜的超精細結構。

原子物理學裏,因為一階相對論性效應,與自旋-軌道耦合,而產生的原子譜線分裂,稱為精細結構

非相對論性、不考慮自旋電子產生的譜線稱為粗略結構類氫原子的粗略結構只與主量子數 n\,\! 有關;更精確的模型,考慮到相對論效應與自旋-軌道效應,能夠分解能級簡併,使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構,精細結構是一個 (Z\alpha)^{2}\,\! 效應;其中,Z\,\!原子序數\alpha\,\!精細結構常數

精細結構修正包括相對論性的動能修正與自旋-軌道修正。整個哈密頓量 H\,\!

H=H^{(0)}+H_{kinetic}+H_{so}\,\!

其中,H^{(0)}\,\! 是零微擾哈密頓量,H_{kinetic}\,\!動能修正,H_{so}\,\! 是自旋-軌道修正。

相對論性修正[编辑]

經典哈密頓量的動能項目是

T=\frac{p^{2}}{2m}\,\!

其中,T\,\! 是動能,p\,\!動量m\,\!質量

可是,若加入狹義相對論的效應,我們必須使用相對論形式的動能:

T=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} - mc^{2}\,\!

其中,c\,\!光速

請注意在這方程式的右手邊,平方根項目是總相對論性能量,mc^{2}\,\! 項目是電子的靜能量。假設 p \ll mc\,\! ,則可以用泰勒級數展開平方根項目:

T=\frac{p^{2}}{2m} - \frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\dots\,\!

哈密頓量的動能修正是

H_{kinetic}= - \frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}\,\!

將這修正當作一個小微擾,根據量子力學微擾理論,我們可以計算出相對論性的一階能量修正 E_{n}^{(1)}\,\!

E_{n}^{(1)}=\langle\psi_n^{(0)}\vert H_{kinetic}\vert\psi_n^{(0)}\rangle= - \frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi_n^{(0)}\vert p^{4}\vert\psi_n^{(0)}\rangle= - \frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi_n^{(0)}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi_n^{(0)}\rangle\,\!

其中,n\,\!主量子數,零微擾波函數 \psi_n^{(0)}\,\!本徵能量E_n^{(0)}\,\!本徵函數E_n^{(0)}= - \frac{Z^2\alpha^2 mc^2}{2 n^2}\,\! ,精細結構常數 \alpha=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar c}\,\!

回想零微擾哈密頓量 H^{(0)}\,\!\psi_n^{(0)}\,\! 的關係方程式:

H^{(0)}\vert\psi_n^{(0)}\rangle=E_{n}^{(0)}\vert\psi_n^{(0)}\rangle \,\!

零微擾哈密頓量等於動能加上位能 V\,\!

\left(\frac{p^{2}}{2m}+V\right)\vert\psi_n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}\vert\psi_n^{(0)}\rangle \,\!

將位能移到公式右手邊:

p^{2}\vert\psi_n^{(0)}\rangle=2m(E_{n}^{(0)} - V) \vert\psi_n^{(0)}\rangle\,\!

將這結果代入 E_{n}^{(1)}\,\! 的公式:

\begin{align} E_{n}^{(1)} & = - \frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi_n^{(0)}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi_n^{(0)}\rangle \\ 
 & = - \frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi_n^{(0)}\vert (2m)^{2}(E_{n}^{(0)} - V)^{2}\vert\psi_n^{(0)}\rangle \\ 
 & = - \frac{1}{2mc^{2}}[(E_{n}^{(0)})^{2} - 2E_{n}^{(0)}\langle V\rangle +\langle V^{2}\rangle] \\
\end{align}\,\!

類氫原子的位能是 V=\frac{Ze^{2}}{4\pi\epsilon_0 r}\,\! ;其中,e\,\!單位電荷量r\,\! 是徑向距離。經過一番繁瑣的運算[1] ,可以得到

\langle V\rangle=\frac{Z^2 e^{2}}{4\pi\epsilon_0 a_{0}n^{2}}\,\!
\langle V^{2}\rangle=\frac{Z^4 e^{4}}{(l+1/2)(4\pi\epsilon_0 a_{0})^{2}n^{3}}\,\!

其中,a_{0}=\frac{\hbar}{\alpha mc}\,\!波耳半徑l\,\!角量子數

將這兩個結果代入,經過一番運算,可以得到相對論修正:

\begin{align}E_{n}^{(1)} & = - \frac{1}{2mc^{2}}\left[(E_{n}^{(0)})^{2} - 2E_{n}^{(0)}\frac{Z^2 e^{2}}{4\pi\epsilon_0 a_{0}n^{2}} +\frac{Z^4 e^{4}}{(l+1/2)(4\pi\epsilon_0 a_{0})^{2}n^{3}}\right] \\
 & = - \frac{(E_{n}^{(0)})^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2} - 3\right) \\
\end{align} \,\!

自旋-軌道修正[编辑]

當我們從標準參考系原子核的靜止參考系;原子核是不動的,電子運動於它環繞著原子核的軌道)改變至電子的靜止參考系(電子是不動的,原子核運動於它環繞著電子的軌道)時,我們會遇到自旋-軌道修正。在這狀況,運動中的原子核有效地形成了一個電流圈,這會產生磁場 \mathbf{B}\,\! .可是,因為電子的自旋,電子自己擁有磁矩 \boldsymbol{\mu}\,\! 。兩個磁向量 \mathbf{B}\,\!\boldsymbol{\mu}\,\! 共同耦合.這使得哈密頓量內,又添加了一個項目:

H_{so}=\frac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0 m^2 c^2 r^3}\, (\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}) \,\!

其中,\epsilon_0\,\!真空電容率\mathbf{L}\,\!角動量\mathbf{S}\,\!自旋

設定總角動量 \mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}\,\! 。應用一階微擾理論,由於 H_{so}\,\!J^2\,\!L^2\,\!S^2\,\! ,這四個算符都互相對易H^{(0)}\,\!J^2\,\!L^2\,\!S^2\,\! ,這四個算符也都互相對易。這四個算符的共同本徵函數可以被用為零微擾波函數 |n,j,l,s\rangle\,\! ;其中,j\,\! 是總角量子數,s\,\! 是自旋量子數。那麼,經過一番運算,可以得到能級位移

E_n^{(1)} =\frac{(E_n^{(0)})^2}{mc^2}\ \frac{2n[j(j+1) - l(l+1) - 3/4]}{l(l+1)(2l+1)}\,\!

總合[编辑]

相對論性修正與自旋-軌道修正的總合是

E_n^{(1)} = - \frac{(E_{n}^{(0)})^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2} - 3\right) +\frac{(E_n^{(0)})^2}{mc^2}\ \frac{2n[j(j+1) - l(l+1) - 3/4]}{l(l+1)(2l+1)}\,\!

其中,j=l\pm 1/2\,\!

j\,\! 的這兩個數值分別代入總合方程式裏,經過一番運算,可以得到同樣的結果:

E_n^{(1)} =\frac{(E_{n}^{(0)})^2}{mc^2}\left(\frac{3}{2} - \frac{4n}{2j+1}\right)\,\!

總結,修正後,取至一階,電子的總能級為,

E_n =\frac{E_{1}^{(0)}}{n^2}\left(1 +\left(\frac{Z\alpha}{n}\right)^2 \left( \frac{2n}{2j+1} - \frac{3}{4}\right)\right)\,\! ;

其中,E_{1}^{(0)}= - 13.6\ ev\,\! 是電子的基態能級,\alpha\approx\frac{1}{137}\,\!精細結構常數

更精确的结果[编辑]

从狄拉克方程直接求解得到的结果是[2][注 1]

 E_n = -mc^2\left[1-\left(1+\left[\dfrac{Z\alpha}{n-j-\frac{1}{2}+\sqrt{\left(j+\frac{1}{2}\right)^2-Z^2\alpha^2}}\right]^2\right)^{-1/2}\right]

其一阶近似就是上面的结果。

參閱[编辑]

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  1. ^ 参考英文版氢原子条目相关小节

參考文獻[编辑]

  1. ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 266–276. ISBN 0-13-111892-7. 
  2. ^ Dirac Equation and Hydrogen Atom. 
  • Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 0-8053-8714-5. 

外部連結[编辑]