約化群

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數學中,約化群冪單根為平凡群的代數群。代數環面半單代數群都是約化群,一般線性群 \mathrm{GL}(n) 亦然。

「約化」一詞源於下述事實:零特徵域上的約化群的線性表示都是完全可約的。

約化李群[编辑]

對於李群 G,以下陳述等價

  1. G 是某個 \mathbb{R}-約化群的覆疊空間(帶有相應的李群結構)。
  2. 其李代數 \mathfrak{g} 同構於某個 \mathbb{R}-約化群的李代數。
  3. 其李代數 \mathfrak{g} 可寫成一個半單李代數與一個交換李代數的直和。
  4. \mathfrak{g} = [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] \oplus Z(\mathfrak{g})

滿足以上任一條件的李群稱為約化李群,有時我們也會加上條件 (G:G^0) < \infty

若一李代數滿足條件二至四,稱之為約化李代數,這相當於說該李代數的伴隨表示是完全可約的。但這並不保證所有有限維線性表示都完全可約。

條件一可以延伸到任意局部域上的情形。

分類[编辑]

約化群可以由根資料分類。利用概形語言,可將約化群的定義延伸到任意基概形 S 上,並導出類似的分類定理。

參見[编辑]

文獻[编辑]