素数

各种各样的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$

自然數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$
整數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$
二进分数
 有限小数
 循环小数
 有理數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$
高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$
代數數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$
實數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$
複數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$

負數
 分数
 单位分数
 无限小数
 规矩数
 無理數
 超越數
 二次无理数
 虛數
 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

雙複數
 四元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$
共四元數
 八元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$
超數
 上超實數
 超現實數

超複數
 十六元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$
複四元數
 大實數
 超實數 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数
 雙曲複數
 序數
 質數
 同餘
 可計算數
 阿列夫数

公稱值
 超限數
 基數
 P進數
 規矩數
 整數序列
 數學常數

圓周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653…
自然對數的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828…
虛數單位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$
無窮大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

质数，又稱素数，指在一個大於1的自然数中，除了1和此整数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1和本身两个因数的数）。

比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。素数在数论中有着很重要的地位。

關於素数 [编辑]

最小的素数是2，也是素数中唯一的偶数；其他素数都是奇数。質数有無限多個，所以不存在最大的質数。

围绕著素数存在很多问题、猜想和定理。著名的有孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。

素数序列的开头是这样的：

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，

41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，

97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151

(OEIS:A000040)

素数集合有时表示成粗体 $\mathbb{P}$ 。

在抽象代数的一个分支－环论中，素元素有特殊的含义，在这个含义下，任何素数的加法的逆转也是素数。换句话说，将整数Z的集合看成是一个环，-Z是一个素元素。但是在数学领域内，提到素数时通常指正的素数。

算术基本定理證明每个大于1的正整数都可以写成素数的乘积，并且这种乘积的形式是唯一的。因此素数也被称为自然数的“建筑的基石”。例如：

$23244 = 2^2 \times 3 \times 13 \times 149$

關於分解的詳細方法，可見於整数分解條目。

这个定理的重要一点是，将1排斥在素数集合以外。如果1被认为是素数，那么这些严格的阐述就不得不加上一些限制条件。

0由於可以被任何数整除（因餘数一定等於0），所以它不符合素数的定義。

素数的数目 [编辑]

素数无穷性的证明 [编辑]

素数有無窮多個。現在已知最早的證明方法是歐幾里得在他的《幾何原本》中提出的，該證明方法如下：

假設只有有限个素数 $p_1,p_2,p_3\ldots p_n$ 。令 $N=p_1\times p_2\times p_3\times \ldots \times p_n$ 。那么，N+1是素数或者不是素数。
如果N+1為素数，則N+1要大于 $p_1,p_2,p_3\ldots p_n$ ，所以它不在那些假設的素数集合中。
如果N+1為合数，因為任何一個合数都可以分解為幾個素数的積；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被 $p_1,p_2,p_3\ldots p_n$ 整除，所以該合数分解得到的素因数肯定不在假設的素数集合中。
因此無論該数是素数還是合数，都意味著在假設的有限個素数之外還存在着其他素数。
對任何有限個素数的集合來說，用上述的方法永遠可以得到有一個素数不在假設的素数集合中的結論。
所以原先的假設不成立。也就是說，素数有無窮多個。

其他数學家也給出了他們自己的證明。歐拉利用黎曼ζ函数證明了全部素数的倒数之和是發散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，Hillel Furstenberg則用拓撲學加以了證明。

对于一定范围内的素数数目的计算 [编辑]

尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100000以下有多少个素数?”，“一个随机的100位数多大可能是素数?”。素数定理可以回答此问题。

寻找素数 [编辑]

尋找在給定限度內的質数排列，埃拉托斯特尼篩法是個很好的方法。然而在實際中，我們往往是想知道一個給定数是否是質数，而不是生成一個質数排列。進而，知道是質数的概率有多大就是可以了。用素性測試迅速地檢查一個給定数（例如，有幾千位数的長度）是否是質数是可能的。典型的方法是隨機選取一個数，然後圍繞著這個数和可能的質数N檢查一些方程式。重複這個過程幾次後，它可以基本確定這個数是明顯的合数或者可能是質数。這種方法是不完美的：對某些測試而言，例如費馬測試，不論選取了多少隨機数都有可能將一些合数判斷成可能的質数，這就引出了偽質数。而像米勒-拉賓測試，雖然只要選取夠多的数字來檢驗方程式，就可以保證其檢驗出的質数性是正確的；但這個檢驗的数量太過龐大，甚至比試除法所需的 $\sqrt{N}$ 還要多，在有限的時間內只能知道答案正確的機率很高，不能保證一定正確。

数學家一直努力找尋產生質数的公式，利用一條定理，可以正確產生所有的質数（參見素数判定法则和質数公式）。歷史上有許多試驗的例子：17世紀初法國数學家梅森（Mersenne）在他的一個著作當中討論了這樣一種我們現在稱之為梅森質数的質数，M_p= $2^p-1$ ，本來以為只要 $p$ 是一個質数， $n=2^{p}-1$ 就會是一個質数，這在 $p=3$ ， $p=5$ ， $p=7$ 都是正確的，但是 $p=11$ 時 $2^{11}-1=2047=23\times 89$ 就不是質数了。目前最大的已知質數是 $2^{57885161}-1$ （此數字位長度是 $17 425 170$ ），它是在2013年 1月25日由GIMPS發現。這組織也在2008年 8月23日發現了目前所知第二大的已知質数 $2^{43112609}-1$ （此数字位長度是 $12 978 189$ ）。