素数的倒数之和

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公元前3世纪欧几里得证明了素数有无穷多个。公元十八世纪欧拉证明了所有素数的倒数之和发散。这里我们给出一些证明。

证明一[编辑]

\ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) = \ln \left( \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}}\right)
= \sum_{p} \ln \left( \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_{p} - \ln(1-p^{-1})
= \sum_{p} \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{2p^2} + \frac{1}{3p^3} + \cdots \right) = \left( \sum_{p}\frac{1}{p} \right) + \sum_{p} \frac{1}{p^2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3p} + \frac{1}{4p^2} + \cdots \right)
< \left( \sum_{p}\frac{1}{p} \right) + \sum_{p} \frac{1}{p^2} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots \right) = \left( \sum_{p} \frac{1}{p} \right) + \left( \sum_{p} \frac{1}{p(p-1)} \right)
= \left( \sum_{p} \frac{1}{p} \right) + C

因为当n逐渐增大时,前n个整数的倒数之和趋近于ln(n),所以

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \cdots = \ln \ln (+ \infty).

证明二[编辑]

此证明由保罗·埃尔德什给出。用反证法

假设所有素数的倒数之和收敛:

定义p_i为第i个素数。我们得到

 \sum_{k=1}^\infty{1\over p_{k}} = c.

存在一个整数i使得

 \sum_{k=1}^\infty{1\over p_{i+k}} < {1 \over 2}.

定义N(x)为不超过x且不能被任何大于第i个素数的素数整除的正整数n的个数。 设n=km^2k不再含平方因子(任何整数都可以这样)。 由于只有i个素数能整除kk最多只有2^i种选择。 又因为m最多只能取\sqrt{x}个值,我们得到:

N(x) \le 2^i\sqrt{x}\,

不超过x且能被某些大于第i个素数的素数整除的正整数n的个数为x − N(x)。

因为不超过x且能被p整除的整数最多有x/p个,我们得到

 x - N(x) < \sum_{k=1}^\infty{x\over p_{i+k}} < {x \over 2},

 {x \over 2} < N(x) \le 2^i\sqrt{x}.\,

但这是不可能的。

证毕

参见[编辑]

外部链接[编辑]