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素理想

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数学中,素理想是环的一个子集,与整数环中的素数共享许多重要的性质。

正式定义[编辑]

  • R理想P是素理想,当且仅当它是一个真理想(也就是说,PR),且对于R的任何两个理想AB使得ABP,都有APBP

交换环的素理想[编辑]

素理想对交换环有一个较简单的描述:如果R是一个交换环,那么R的理想P是素理想,如果它具有以下两个性质:

  • 只要abR的两个元素,使得它们的乘积ab位于P内,那么要么a位于P内,要么b位于P内。
  • P不等于整个环R

这推广了素数的以下性质:如果p是一个素数,且p能整除两个整数的乘积ab,那么p要么能整除a,要么能整除b。因此,我们可以说:

正整数n是素数,当且仅当理想nZZ的素理想。

例子[编辑]

  • 如果R表示系数二元多项式C[X, Y],那么由多项式Y2X3X − 1生成的理想是素理想(参见椭圆曲线)。
  • 在整系数多项式环Z[X]中,由2和X生成的理想是素理想。它由所有系数项为偶数的多项式组成。
  • 在任何环R中,极大理想是一个理想M,它是R的所有真理想的集合中的极大元,也就是说,M包含R的正好两个理想内,即M本身和整个环R。每一个极大理想实际上是素理想;在主理想整环中,每一个非零的素理想都是极大的,但这一般不成立。
  • 如果M是光滑流形RM上的光滑函数环,而xM中的一个点,那么所有满足f(x) = 0的光滑函数f形成了R内的一个素理想(甚至是极大理想)。

性质[编辑]

  • 交换环R中的理想I是素理想,当且仅当商环R/I整环
  • R的理想I是素理想,当且仅当R \ I在乘法运算下封闭。
  • 每一个非零的交换环都含有至少一个素理想(实际上它含有至少一个极大理想),这是克鲁尔定理的一个直接结果。
  • 一个交换环是整环,当且仅当{0}是一个素理想。
  • 一个交换环是,当且仅当{0}是唯一的素理想,或等价地,当且仅当{0}是一个极大理想。
  • 一个素理想在环同态下的原像是素理想。
  • 两个素理想的和不一定是素理想。例如,考虑环 \mathbb{C}[x,y] ,它的素理想为P = (x2 + y2 - 1)和Q = (x)(分别由x2 + y2 - 1和x生成)。然而,它们的和P + Q = (x2 + y2 - 1 , x) = (y2 - 1 , x)不是素理想。注意商环具有零因子意味着不是整环,因此P + Q不能是素理想。

非交换环的素理想[编辑]

如果R非交换环,那么R的理想P是素理想,如果它具有以下两个性质:

  • 只要abR的两个元素,使得对于R的所有元素r,它们的乘积arb都位于P内,那么要么a位于P内,要么b位于P内。
  • P不等于整个环R

对于交换环,这个定义等价于前面所述的定义。对于非交换环,这两个定义是不同的。使ab位于P内意味着ab位于P内的理想称为完全素理想。完全素理想是素理想,但反过来不成立。例如,n × n矩阵环中的零理想是素理想,但不是完全素理想。

例子[编辑]

参考文献[编辑]

  • David S. Dummit and Richard M. Foote. Abstract Algebra 第三版. John Wiley & Sons, Inc. 2004年: 第255–256页.