索伯列夫空间

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数学上,一个索伯列夫空间是一个由函数组成的賦範向量空間,对于某个给定的p ≥ 1,它对一个函数f和它的直到某个k导数加上有限Lp范数的这个条件。它以前苏联数学家舍蓋·索伯列夫來命名。

简介[编辑]

对于数学函数的光滑性有很多规则。最基本的规则可能就是对函数连续性的要求。光滑性的更强的概念是可微性(因为可微函数也是连续的),再强一些的概念是导数的连续性(这些函数称为C^1 — 参看光滑函数)。可微函数在很多领域相当重要,特别是在微分方程中)。在二十世纪,人们发现C^1函数空间不是研究微分方程的解的恰当的空间。

而索伯列夫空间正是用于偏微分方程的解的C^1空间的替代品。

技术性讨论[编辑]

我们从最简单情况下的索伯列夫空间开始,也就是单位圆上的一维情况。在这个情况下,索伯列夫空间W^{k,p}定义为Lp的子集,使得f和它的直到k阶的导数有一个有限的Lp范数,对于某个给定的p ≥ 1。定义正确意义上的导数时必须小心。在这个一维问题中,假设f^{(k-1)}是几乎处处可微并且等于其导数的勒贝格积分(这可以排除康托函数这样的例子)就足够了。

按照这个定义,索伯列夫空间有一个自然的范数,

\|f\|_{k,p}=\sum_{i=0}^k \|f^{(i)}\|_p = \sum_{i=0}^k \Big(\int |f^{(i)}(t)|^p\,dt \Big)^{1/p}.

赋予了范数\|\cdot\|_{k,p}W^{k,p}是一个完备空间。实际上只要取序列中的第一项和最后一项就可以了,也即,如下的范数

\|f^{(k)}\|_p + \|f\|_p

和上述范数等价

例子[编辑]

有些索伯列夫空间有简单的表述。例如,在一维情况,W^{1,1}就是绝对连续函数空间,而W1,∞李普希兹函数空间。还有,W^{k,2}可以自然地用其傅立叶级数的术语定义,也就是

W^{k,2}({\mathbb T}) = \Big\{ f\in L^2({\mathbb T}):\sum_{n=-\infty}^\infty (1+n^2 + \dotsb + n^{2k}) |\widehat{f}(n)|^2 < \infty\Big\}

其中\widehat{f}f的傅立叶级数。和前面一样,可以采用等价的范数

\|f\|^2=\sum_{n=-\infty}^\infty (1 + n^{2k}) |\widehat{f}(n)|^2.

两个表达都可以从帕塞瓦尔定理以及微分等价于傅立叶系数乘以in这个事实导出。这个特殊情况很重要,因此有一个特别的符号,H^k:

\,H^k = W^{k,2}.

非整数k的索伯列夫空间[编辑]

为避免混淆,在讨论不是整数k的时候,我们通常用s来取代它,也即W^{s,p}或者H^s

p = 2的情形[编辑]

p = 2的情形是最简单的情形,因为傅立叶表述可以直接推广。我们定义范数为

||f||^2_{2,s}=\sum (1+n^{2s})|\widehat{f}(n)|^2

而索伯列夫空间H^s为具有有限范数的函数的空间。

分数阶微分[编辑]

如果p不是2,就采取类似的方法。在这个情况下帕塞瓦尔定理不再成立,但是微分还是对应于在傅立叶域中的乘法,并且可以推广到非整数阶。因此,可以定义一个分数阶微分算子其阶为s,如下所示

F^s(f)=\sum_{n=-\infty}^\infty (in)^s\widehat{f}(n)e^{int}

换句话说,取傅立叶变换,乘以(in)^s再取逆傅立叶变换(定义为傅立叶-乘法-逆傅立叶的算子称为乘子,这本身也是一个研究主题)。这使得我们可以定义s,p的索伯列夫范数如下

\,\Vert f\Vert_{s,p}=\Vert f\Vert_p+ \Vert F^s(f)\Vert_p

而且,跟平常一样,索伯列夫空间是有有限索伯列夫范数的函数的空间。

复插值[编辑]

获取“分数索伯列夫空间”的另一个办法是采用复插值。复插值是一个通用的技术:对于任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空间XY,且这二者都包含于某个更大的巴拿赫空间中,我们可以创建“过渡空间”,记为[X,Y]t。(后面将会讨论到一个不同的方法,所谓的实插值方法,它对于迹的分类的索伯列夫理论有重要的意义)。


这样的空间XY称为插值对。

下面提一些关于复插值的有用的定理:

定理 (插值): [ [X,Y]a , [X,Y]b ]c = [X,Y]cb+(1-c)a.

定理 (算子的插值): 若{X,Y}{A,B}是插值对,并且若T是一个线性映射,定义与X+Y到A+B中,使得T在X到A和Y到B上连续,则T从[X,Y]t[A,B]t上连续。并且有如下的插值不等式:

||T||_{[X,Y]_t \to [A,B]_t}\leq C||T||_{X\to A}^{1-t}||T||_{Y\to B}^t.

参看: Riesz-Thorin定理

回到索伯列夫空间上来,我们要通过对几个W^{k,p}的插值得到非整数sW^{s,p}。第一件事当然是看看这个可以给出一致的结果,而我们确实有

定理: \left[W^{0,p},W^{m,p}\right]_t=W^{n,p},如果n是一个整数使得n=tm。

因此,复插值是一个得到一个空间W^{k,p}之间的空间W^{s,p}的一个连续统的一致的方法。而且,它给出了和分数阶微分同样的空间(但参看延拓算子中的一个变化)。

多维情况[编辑]

现在考虑在Rn及其子集上的索伯列夫空间。从圆到线的变化只涉及傅立叶公式的技术细节 — 基本上就是将傅立叶级数变为傅立叶变换,将求和变为积分。到多维情况的转换有更大的难度,从定义就开始变化。f^{(k-1)}f^{(k)}的积分这个条件无法一般化,而最简单的解决办法是考虑分布理论意义下的导数。

由此可以得到一个形式化的定义。令DRn中开集。定义索伯列夫空间

\,W^{k,p}(D)

为定义于D上的函数f的族,使得对于满足下式的每个多重索引\alpha

|\alpha|\leq k

f^{(\alpha)}是一个函数,且

||f^{(\alpha)}||_p < \infty.

在它上面的一个合适的范数是所有这样的α上的那些Lp范数的和。它是完备的,因此是一个巴拿赫空间。

实际上,这个方法在一维也成立,并且和前面分数阶微分中所述并无多大区别。

例子[编辑]

在多维情况,有些结果不再成立,例如,W^{1,1}只包含连续函数。例如,1/|x|属于W^{1,1}(B^3),其中B^3是三维的单位球。对于足够大的kW^{k,p}(D)将只包含连续函数,但是对于哪个k才够取决于p以及维数这二者。

但是,W1,∞W^{k,2}的表述在做了必要的修改之后还是成立的。

索伯列夫嵌入[编辑]

索伯列夫空间W^{k,p}(\mathbb{R}^n)L^p(\mathbb{R}^n)的子集。一个很自然的问题是:有没有其它的Lp空间包含W^{k,p}(\mathbb{R}^n)?如下的回答容许一个简单的表达(参看[1]):

定理:令k,n\in\mathbb{Z}_{>0}1\leq p\leq\infty。则如下命题成立:

  1. \frac{1}{p}>\frac{k}{n}W^{k,p}(\mathbb{R}^n)\subseteq L^{\frac{1}{\frac{1}{p}-\frac{k}{n}}}(\mathbb{R}^n)(作为集合)。而且,包含关系是一个有界算子
  2. \frac{1}{p}=\frac{k}{n} 则所有有紧支撑的函数f\in W^{k,p}(\mathbb{R}^n)L^q(\mathbb{R}^n)的元素,其中q<\infty

[编辑]

s > ½。若X为开集,使得其边界 G"足够光滑",则我们可以定义映射P(也即,限制)如下

Pu=u|_G,

也即,u限制到边界G上。一个可能的光滑条件是一致C^mms。 (但是注意,这个矩阵迹没有关系。)

这个迹映射P其定义域为H^s(X),而其像正好是H^{s-1/2}(G)。如果要完全形式化,P首先定义在无穷可微函数上,并且通过连续性扩展到整个H^s(X)。注意取迹'失去了半个导数'。

确定W^{s,p}的迹映射的像要困难很多,需要使用实插值这个工具,在此不具体讨论。其最后的结果是Besov空间。事实上,在W^{s,p}空间的情形,我们不是失去半个导数,我们失去了1/p个导数。

延拓算子[编辑]

X是开域,其边界不是太不良(例如,如果其边界为流形,或者满足更宽松但更奇特的“锥条件”)则存在一个算子AX的函数到Rn的函数,使得:

  1. Au(x) = u(x) 对于几乎所有X中的x以及
  2. A连续,从W^{k,p}(X)W^{k,p}({\mathbb R}^n),对于任何1 ≤ p ≤ ∞ 以及整数k

我们称算子AX的延拓算子。

延拓算子是最自然的定义非整数sH^s(X)方法(我们不能直接在X进行,因为取傅立叶变化是一个整体操作)。我们定义H^s(X)为:u属于H^s(X)当且仅当Au属于H^s(\mathbb R^n)。等价的有,复插值产生同样的H^s(X)空间只要X存在一个延拓算子。如果X没有一个延拓算子,复插值是唯一取得H^s(X)空间的办法。

因此,插值不等式仍然成立。

用零延拓[编辑]

我们定义H^s_0(X)为无穷可微紧支撑函数的空间C^\infty_c(X)H^s(X)中的闭包。给定一个迹的定义如上,我们可以给出如下命题

定理:令X为一致Cm正规空间,m ≥ s并令P为线性映射,将H^s(X)中的u映射到

\left.\left(u,\frac{du}{dn},...,\frac{d^k u}{dn^k}\right)\right|_G

其中d/dn是垂直于G的导数,而k是最大的小于s的整数。则H^s_0正好是P的核。

u\in H^s_0(X),我们可以一种自然的方式定义它的零延拓\tilde u \in L^2({\mathbb R}^n),也就是

\tilde u(x)=u(x)x \in X,否则\tilde u(x)=0

定理:令s>½。将u变为\tilde u的映射是到H^s({\mathbb R}^n)中的连续映射,当且仅当s不是形为n+½(对于某个整数n)。

参考[编辑]

  1. ^ Stein, E., 《奇异积分和函数的可微性》(Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions),普林斯顿大学出版社 (1970年)。 ISBN 0-691-08079-8