索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理

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The Sokhatsky–Weierstrass 定理 (亦作Sokhotsky–Weierstrass 定理, Sokhotski–Plemelj formula,[1]Weierstrass theorem(勿与 various other theorems called the "Weierstrass theorem"混淆)是复变分析中的一个定理,用于计算很多问题中出现的柯西主值。物理学问题中很多见,但鲜有其命名的引用。该定理源自Yulian Sokhotski, Karl WeierstrassJosip Plemelj

定理陈述[编辑]

ƒ为定义在实线上的连续复值函数,ab为实常数,满足a < 0 < b。则

\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x\pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi f(0) + \mathcal{P}\int_a^b \frac{f(x)}{x}\, dx,

其中\mathcal{P}表示柯西主值.

定理证明[编辑]

简单证明如下:


\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x\pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{\varepsilon}{\pi(x^2+\varepsilon^2)}f(x)\,dx + \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b  \frac{x^2}{x^2+\varepsilon^2} \, \frac{f(x)}{x}\, dx.

注意到第一项 \varepsilon/(\pi(x^2+\varepsilon^2))nascent delta function, 因此极限下趋近 Dirac delta function。 因此第一项等于 \mp i \pi f(0).

第二项,注意到因子在当 |x| >> ε时,x^2/(x^2+\varepsilon^2)趋近于1;当|x| << ε时趋近于0并关于零对称。 因此极限下为柯西主值积分。

物理应用[编辑]

量子力学量子场论中,经常需要计算如下形式的积分,

\int_{-\infty}^\infty \int_0^\infty f(E)\exp(-iEt)\,dt\, dE,

其中E为能量,t为时间。 上式对时间积分不收敛, 因此一般需为t加入一个负的常系数,然后再令其趋于0。

\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_{-\infty}^\infty \int_0^\infty f(E)\exp(-iEt-\varepsilon t)\,dt\, dE
= -i \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_{-\infty}^\infty \frac{f(E)}{E-i\varepsilon}\,dE = \pi f(0)-i \mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(E)}{E}\,dE,

其中最后一步用到了该定理。

等离子体物理中,推导朗道阻尼的过程中使用到该定理,从而揭示了波在无碰撞过程中亦存在阻尼现象.

参考文献[编辑]

  1. ^ Blanchard, Philippe; Brüning, Erwin. Mathematical Methods in Physics. Boston: Birkhauser. 2003. ISBN 0817642285.  Example 3.3.1 4.
  • Weinberg, Steven. The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations. Cambridge Univ. Press. 1995. ISBN 0-521-55001-7.  Chapter 3.1.
  • Merzbacher, Eugen. Quantum Mechanics. Wiley, John & Sons, Inc. 1998. ISBN 0-471-88702-1.  Appendix A, equation (A.19).

提及该定理名称的引用[编辑]