紧化

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数学中,紧化compactification)是将一个拓扑空间扩大为的过程或结果。紧化的方法有多种,但每一种方法都是以某种方式添加“无穷远点”控制“跑向无穷远”的点或阻止这样的“逃逸”。

一个例子[编辑]

考虑带有通常拓扑的实数线。这个空间不是紧的;在某种意义上说,点向左或向右可以跑向无穷远。可以通过添加一个“无穷远点”,我们记作 ∞,将其变为一个紧空间。所得的紧化可以想象为一个圆周(作为欧几里得平面的有界闭子集它是紧的)。实线上每个跑向无穷的序列在紧化中将收敛到 ∞。

直觉上,这个过程可视为:首先将实数线收缩为 x-轴上的开区间 (-π,π);然后将这个区间的两端向上(y-轴正方向)弯曲,并移动使它们靠近,直到得到一个去掉一点(最上点)的圆周。这个点是我们的新点 ∞ 无穷远点,将它添进来成为一个完整的紧圆周。

稍微正式一点:我们将单位圆周上的点以角度表示,在弧度下,取从 -π 到 π。将每个这样的点 θ 与实数线上对应的 tan(θ/2) 等同。这个函数在点 π/2 没有定义,因为 tan(π/2) 没有定义;将这个点等同于我们的 ∞。

因为正切函数于其反函数都是连续的,我们的等同函数是实数线与去掉 ∞ 的单位圆周間的同胚。我们所构造的c称为实数线的亚历山德罗夫单点紧化,更一般的讨论见下。也可以增添两个点 +∞ 和 -∞ 将实数线紧化,得到扩展的实数轴

定义[编辑]

拓扑空间 X 作为稠密子集嵌入一个紧空间称为 X 的一个紧化。将拓扑空间嵌入紧空间中经常有用,因为紧空间有一些特殊性质。

嵌入紧豪斯多夫空间可能特别让人感兴趣。因为每个紧豪斯多夫空间是一个吉洪诺夫空间,而吉洪诺夫空间的每个子空间是吉洪诺夫的,我们得出每个有豪斯多夫紧化的空间必须是吉洪诺夫空间。事实上,其逆亦真;吉洪诺夫空间是存在豪斯多夫紧化的充分必要条件。

很多有趣的非紧空间确实有特别类型的紧化,这个事实使紧化成为拓扑学中的常用技巧。

亚历山德罗夫单点紧化[编辑]

对一个拓扑空间 X,它的(亚历山德罗夫)单点紧化 αX 是通过添加额外一点 ∞(通常叫做无穷远点)得到的,定义新空间的开集X 中的开集以及具有 G U {∞} 形式的集合,这里 GX 的一个子集使得 X \ G 闭且紧。X 的单点紧化是豪斯多夫的当且仅当 X 是豪斯多夫的且局部紧

斯通–切赫紧化[编辑]

特别使人感兴趣的是豪斯多夫紧化,即紧化中紧空间是豪斯多夫的。一个拓扑空间有豪斯多夫紧化当且仅当它是吉洪诺夫的。在这种情形,存在惟一(差一个同胚)“最一般的”豪斯多夫紧化,X斯通-切赫緊化,记作 βX。空间 βX泛性质刻画,任何从 X 到一个紧豪斯多夫空间 K连续函数可以惟一地延拓为从 βXY 的连续函数。更确切地说, βX 是一个包含 X 的紧豪斯多夫空间使得 X 上由 βX 诱导的拓扑与 X 上本来的拓扑相同,且对任何连续映射 f:XK,这里 K 是一个紧豪斯多夫空间,存在惟一连续映射 gXK 使得 g 限制在 X 上等同于 f

斯通–切赫紧化可具体地构造如下:设 C 是从 X 到闭区间 [0,1] 的连续函数集合。则 X 中每一点可与 C 上一个取值函数等同。这样 X 可与 [0,1]C 的一个子集等价,这里 [0,1]C 是从 C 到 [0,1] 的所有函数集合。由吉洪诺夫定理后者是紧的,X闭包作为那个空间的子集也是紧的。这就是斯通–切赫紧化。

射影空间[编辑]

实射影空间 RPn 是欧几里得空间 Rn 的一个紧化。对 Rn 中可能“逃逸”的每个“方向”,添加了一个无穷原点(但每个方向与其反方向等同)。我们上面构造的 R 的亚历山德罗夫单点紧化事实上同胚于 RP1。但是注意射影平面 RP2 不是平面 R2 的单点紧化,因为添加了不止一点。

复射影空间 CPn 也是 Cn 的一个紧化;平面 C 的亚历山德罗夫单点紧化(同胚于)是复射影直线 CP1,它可等价于黎曼球面

转向射影空间是代数几何中的一个基本工具,因为添加了无穷远点后许多定理有更简单的表述。例如,RP2 中任何两条不同直线恰好交于一点,而在 R2 中不成立。

李群的紧化与离散子群[编辑]

李群离散子群的研究中,陪集商空间通常为更精细紧化之候选,在更丰富的层次上保持结构而不止是拓扑。

例如模曲线是在每个尖点添加一点,使其成为黎曼曲面(而且因为它们是紧的,故为代数曲线)。这里尖点有一个好理由:曲线参数化了一个空间,这些格可以退化(跑向无穷远),通常有许多方式(考虑到一些“层次”的辅助结构)。尖点代表了这些指向无穷的不同方向。

这是平面中的格。在 n-维欧几里得空间中也可提出同样的问题,例如关于 GLn(R)/GLn(Z)。这是较难紧化的。现在可以利用一个一般的定理,博雷尔–塞尔紧化Borel-Serre compactification)。

其它紧化理论[编辑]