累积量

在概率论和统计学中，一个随机变量的累积量是指一系列能够提供和矩一样的信息的量。累积量和随机变量的矩密切相关。如果两个随机变量的各阶矩都一样，那么它们的累积量也都一样，反之亦然。在某些理论推导中，使用累积量更加方便。

简介

一个随机变量$X$的$n$阶累积量$\kappa_n$可以用所谓的累积生成函数来定义。

$\sum_{n=1}^\infty \kappa_n \frac{t^n}{n!}=\log \mathbb{E} e^{t X}=:g(t).$

如果使用X（没有中心化）的n阶矩$\mu_n^{\prime} = \mathbb{E}(X^n)$和矩生成函数则可以定义：

$\mathbb{E} (e^{tX}) = 1 + \sum_{m=1}^\infty \mu'_m \frac{t^m}{m!}=e^{g(t)}.$

使用形式幂级数定义的对数函数：

$\begin{align}g(t) &= \log(\operatorname{E}(e^{tX})) = - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(1-\operatorname{E}(e^{tX})\right)^n = - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(-\sum_{m=1}^\infty \mu'_m \frac{t^m}{m!}\right)^n \\ &= \mu'_1 t + \left(\mu'_2 - {\mu'_1}^2\right) \frac{t^2}{2!} + \left(\mu'_3 - 3\mu'_2\mu'_1 + 2{\mu'_1}^3\right) \frac{t^3}{3!} + \cdots . \end{align}$

随机变量的累积量和随机变量的矩密切相关。比如说，随机变量X有期望$\scriptstyle \mu = \mathbb{E}(X)$和方差 $\scriptstyle \sigma^2 = \mathbb{E}\left(|X - \mu |^2\right)$ ，那么它们也是前两阶的累积量： $\scriptstyle \mu = \kappa_1 , \, \sigma^2 = \kappa_2$。

对于一般的情况，累积量可以通过对生成函数$\scriptstyle g(t)$（在0处）进行求导得到。也就是说，累积量是$\scriptstyle g(t)$的麦克劳林级数的系数。

$\begin{align} \kappa_1 &= g'(0) = \mu'_1 = \mu, \\ \kappa_2 &= g''(0) = \mu'_2 - {\mu'_1}^2 = \sigma^2, \\ &{} \ \ \vdots \\ \kappa_n &= g^{(n)}(0), \\ &{} \ \ \vdots \end{align}$

要注意有时候$n$阶矩会用角括号来表示：$\mu'_n = \operatorname{E}(X^n)=\langle X^n \rangle \,$，累积量则用下标$c$的角括号表示：$\kappa_n = \langle X^n\rangle_c. \,$。

有些作者偏向于定义累积生成函数为随机变量的特征函数诱导的自然对数。这种定义下的累积生成函数也被称为随机变量的第二类特征函数。

$h(t)=\sum_{n=1}^\infty \kappa_n \frac{(it)^n}{n!}=\log(\operatorname{E} (e^{i t X}))=\mu it - \sigma^2 \frac{ t^2}{2} + \cdots.\,$

统计数学中的应用

使用累积量的一个优势是它对应的生成函数是加性函数。比如说对两个独立的随机变量$X$和$Y$，

$\begin{align} g_{X+Y}(t) & =\log(\operatorname{E}(e^{t(X+Y)})) = \log(\operatorname{E}(e^{tX})\operatorname{E}(e^{tY})) \\ & = \log(\operatorname{E}(e^{tX})) + \log(\operatorname{E}(e^{tY})) = g_X(t) + g_Y(t). \end{align}$

它们的和的累积量是各自的累积量的和。

相關條目

• 累積量生成函數

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因, Cumulant at MathWorld
• （英文）累积量：一些数学术语的早期使用