終端速度

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
向下的重力(Fg)相等於向上的阻力(Fd)。此時物體的淨力為零,因此物體的速度保持不變。

在流體動力學中,當物體在流體中運動時,在流體向物體運動反方向所施的力下,物體的運動速度因而不變,這時物體所移動的速度就是終端速度

當向下的重力(Fg)相等於向上的阻力(Fd)時,自由落體中的物體會達到終端速度。此時物體的淨力為零,因此物體的速度保持不變[1]

當物體加速的時候(一般是因為重力而向下加速),施向物體的抗力也在增加,使得加速度慢下來。在某一個速度下,所產生的抗力會相等於物體的重量(mg)。這時候物體停止加速,並持續以不變的速度下落,這個速度就是終端速度(也叫沉降速度)。終端速度直接隨着重量與阻力的比值而變。更大的抗力代表較低的終端速度,而更大的重量則代表較高的終端速度。若一向下移動物體的速度大於終端速度(比方說它受一向下的力影響,或它掉進了較薄的大氣層區域,或它的形狀改變),它的速度會慢下來,直至達到終端速度為止。

例子[编辑]

舉例說,基於風阻,一個採取俯伏向下自由落體姿勢的跳傘員,其終端速度約為195km/h(55m/s[2]。這個速度是整個加速過程的漸近極限值,因為作用在身體上的有效力在接近終端速度的過程中,愈來愈接近互相平衡的狀態。在這個例子中,要達到終端速度的50%只需要3秒,達到90%則需要8秒,而達到99%就需要15秒,如此類推。

如果跳傘員把四肢拉起來的話,終端速度會提高。在這個例子中,終端速度會提昇至320km/h(90m/s[2],幾乎到達游隼向下追捕獵物時的速度;一粒典型的.30-06步槍子彈在垂直下墜時也會達到這樣的終端速度——垂直下墜可能是因為被向上射擊後要回到地面,又或是從高樓上掉下——其速度是來自於一份1920年的美軍軍械研究報告[3]

競速跳傘員會使用頭向下俯衝的姿勢來達到更高的速度,2012年之前的世界紀錄由約瑟夫·基廷格在1960年所創下,速度為988km/h,當時位於海拔較高的地方,因此大氣層較為稀薄,空氣阻力較小[2]菲利克斯·保加拿為了打破此紀錄,在2012年10月15日從39公里高的同溫層跳下,最高時速達1173km/h,是目前的世界紀錄保持人。[4]

一向着地球表面下墜物體的速度,每秒鐘會增加每秒鐘9.81米(即加速度為9.81m/s-2)。物體會達到終端速度的原因是,阻力的大小與速度的平方成正比。在低速時,阻力比重力要小得多,所以物體加速。當物體在加速時,阻力增加,直至與重量相等。阻力同時亦取決於投影面積。就是因為這個原因,相對於質量有着大投影面積的物體,如降落傘,比其他這方面小的物體,如子彈,有着更低的終端速度。

數學上,無視浮力的終端速度可用下式表示:

V_t= \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_d }}

其中

V_t為終端速度,
m為物體重量,
g地球所引起的加速度
C_d阻力係數
\rho為物體落下時所處的流體密度
A為物體的投影面積。

數學上,一物體漸近地到達終端速度。

由周遭流體向物體所施的向上力所造成的浮力效應,可用阿基米德定律來描述:質量m必須減去所排開的流體質量\rho\mathcal{V},其中\mathcal{V}為物體的體積。所以不使用m,在各方程中改用約化質量m_r=m-\rho\mathcal{V}

在地球上,一物體的終端速度取決於流體的性質、物體的質量及其橫截表面積的投影大小。

空氣密度隨着海拔減少而增加,海拔每減少80米,密度就增加約1%(使用氣壓公式)。若物體下降時穿越大氣層,每下降160米,終端速度就會減少1%。當物點達到所處點的終端速度後,若持續下降,則物體會因為新位置的終端速度而減速。

終端速度的推導[编辑]

數學上,把向下定義為正方向,物體在接地球表面落下是所受的淨力Fnet為(根據牛頓第二運動定律):

F_{net} = m a = m g - F_D

其中: a加速度FD為阻力。

根據阻力公式:

F_D\, =\, \tfrac12\, \rho\, v^2\, C_d\, A

將上兩式結合可得

F_{net} = m g - {1 \over 2} \rho v^2 A C_\mathrm{d}

在平衡時,淨力為零(F=0):

m g - {1 \over 2} \rho v^2 A C_\mathrm{d} = 0 \

v可得,

\sqrt\frac{2mg}{\rho A C_\mathrm{d}} \

有浮力情況下的終端速度[编辑]

當考慮浮力效應時,因自身質量而在流體中下沉的物體,若其淨力為零,就會達到終端速度(沉降速度)。當達到終端速度時,物體的重量會正好等於向上的浮力與阻力之和。即:

 \quad (1) \qquad W = F_b + D

其中

W為物體的重量,
F_b為作用於物體上的浮力,及
D 為作用於物體上的阻力。

若下沉的物體是球狀的,則三種力的表示式如下:

\quad (2) \qquad W = \tfrac{\pi}{6} d^3 \rho_s g


\quad (3) \qquad F_b = \tfrac{\pi}{6} d^3 \rho g


\quad (4) \qquad D = C_d \tfrac{1}{2} \rho V^2 A

其中

d為球體的直徑,
g為重力加速度,
\rho為流體的密度,
\rho_s為球體的密度,
A = \pi d^2/4 為球體投影面積,
C_d阻力係數,及
V為特徵速度(即終端速度,V_t )。

將方程(2)至(4)代入至方程(1),求解V_t 的值,得下式:

 \quad (5) \qquad V_t = \sqrt{\frac{4 g d}{3 C_d} \left( \frac{\rho_s - \rho}{\rho} \right)}

蠕流下的終端速度[编辑]

蠕流流過球體示意圖:流線、阻力Fd及重力Fg

對流體內非常慢的運動而言,相對於其他力,流體的慣性力是無關重要的(假設流體無質量)。這樣的流被稱為蠕流,而蠕流需要滿足雷諾數Re \ll 1的條件。蠕流的運動方程(簡化後的納維-斯托克斯方程)如下:

\nabla p = \mu \nabla^2 {\mathbf v}

其中:

{\mathbf v}為速度向量場,
p為壓力場,及
\mu 為流體黏度

流過球體的蠕流解析解最早由喬治·斯托克斯於1851年提出。從斯托克斯的解可得作用於球體的阻力

\quad (6) \qquad D = 3\pi \mu d V \qquad \qquad\qquad \qquad C_d = \frac{24}{Re}

其中雷諾數Re = \tfrac{\rho d V}{\mu} 。方程(6)中表示阻力的式子又被稱為斯托克斯定律

C_d的值代入至方程(5),可得球狀物體在蠕流條件下的終端速度表示式:

 V_t = \frac{g d^2}{18 \mu} \left(\rho_s - \rho \right)

應用[编辑]

蠕流的計算結果可被用於研究近海底沉積粒子的沉降,及大氣層中下降的水滴。其原理被應用於落球式黏度計,一種量度高黏度流體黏度的實驗裝置。

另見[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ 終端速度. 美國太空總署格林研究中心NASA Glenn Research Center. [2009-03-04]. (英文)
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Huang, Jian. 跳傘者的速度(終端速度). The Physics Factbook. Glenn Elert, Midwood High School, Brooklyn College. 1999. (英文)
  3. ^ The Ballistician. Bullets in the Sky. W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston,Texas 77089. March 2001. 
  4. ^ 奧地利冒險家鮑姆加特納太空跳傘. BBC中文網. 2012-10-14 [2012-10-14]. 

外部連結[编辑]