結合代數

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數學裡,結合代數是指一向量空間(或更一般地,一),其允許向量有具分配律結合律的乘法。因此,它為一特殊的代數

定義[编辑]

一於K上的結合代數A的定義為一於K上的向量空間,其K-雙線性映射A × AA 具有結合律:

  • 對任何於A內的xyz,(x y) z = x (y z)。

此乘法的雙線性性質可表示成

  • 對任何於A內的xyz,满足结合律: (x + y) z = x z + y z
  • 對任何於A內的xy及於Ka,满足分配律: x (y + z) = x y + x z
  • 對任何於A內的xy及於K內的a,满足结合律 a (x y) = (a x) y = x (a y)。

A含有單位元,即元素1使得對任一於A內的x,1x = x1 = x,則稱A具一的結合代數單作結合代數。 此一代數為一個,且包含所以體K內的元素a,由a1相連接。

上述的定義沒有任何改變地廣義化成了於可交換環K上的代數(除了K-線性空間被稱做而非向量空間之外)。詳述請見代數 (環論)

於一體K上的結合代數A維度為其K-向量空間的維度

例子[编辑]

  • 其元素為體Kn×n方陣形成了一於K上的單作結合代數。
  • 複數形成了於實數上的二維單作結合代數。
  • 四元數形成了於實數上的四維單作結合代數(但不為一複數上的代數,因為複數和四元數不可交換)。
  • 實係數多項式形成了一於實數上的單作結合代數。
  • 給定一巴拿赫空間X,其連續線性算子 A : nX形成了一單作結合代數(以算子複合做為乘法);事實上,這是一個巴拿赫代數
  • 給定一拓撲空間X,於X上的連續實(複)值函數形成了一單作結合代數;這裡,加法和乘法是對函數的各點相加和相乘。
  • 一非單作的結合代數為所有x趨向無限時的極限為零的函數f: RR所組成的集合。
  • 克理福代數也是結合代數的一種,在幾何物理上都很有用。
  • 局部有限偏序集合相交代數為一組合數學內的單作結合代數。

代數同態[编辑]

AB為體K上的結合代數,代數同態 h: AB則是一K-線性映射,其對任何於A內的xy,會有h(xy) = h(x) h(y)的關係。加上態射的概念,於K上的結合代數組成的類便成了一範疇

舉個例子,設A為所有實值連續函數RR所組成的代數,及B=R,這兩者都是於R上的代數,且其每一連續函數f指定至數字f(0)的映射會是個由AB的代數同態。

免指標標記法[编辑]

前面所述之結合代數的定義,其結合律的定義是對A的所有元素而定的。但有時不涉及A內元素的結合律定義會較方便。 這可以由下列方法作到。一定義成在一向量空間A內映射M的代數:

M: A \times A \rightarrow A

其為結合代數當M有下面性質:

M \circ (\mbox {Id} \times M) = M \circ (M \times \mbox {Id})

其中,符號\circ表示函數的複合,而Id則為恆等函數:對所有於A內的xId(x)=x。要了解其定義是等價的,只需要知道上述式子的兩邊都是三個引數的函數。例如,式子左邊為

( M \circ (\mbox {Id} \times M)) (x,y,z) = M (x, M(y,z))

類似地,一單作結合代數可以以單位映射\eta: K \rightarrow A來定義,其性質如下:

M \circ (\mbox {Id} \times \eta ) = s = M \circ (\eta \times \mbox {Id})

其中,單位映射η將K內的元素k映射至A內的元素k1,這裡1A單位元。映射s只是個純量乘積:s:K\times A \rightarrow A

廣義化[编辑]

共代數[编辑]

表示[编辑]

參考[编辑]