結式

結式是數學中一個常用的不變量。考慮域 $F$ 上兩個多項式 $P, Q$，設其首項係數分別為 $a, b$，則其結式定義為

$\mathrm{res}(P,Q) := a^{\deg Q} b^{\deg P} \prod_{(x,y) \in \bar{F}^2: \,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y),\,$

其中 $\bar{F}$ 為 $F$ 的給定代數閉包。由此定義的結式是 $F$ 的元素，而与代數閉包的選取无关。

計算方式

• 結式亦可理解為西爾維斯特矩陣的行列式。
• 為簡單起見，假設 $P,Q$ 首項係數為一；若 $Q$ 是可分多項式（換言之：無重根），則定義可改寫為

$\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} Q(x)\,$

此式僅依賴於 $Q$ 除以 $P$ 的餘式。

• 承上，可透過輾轉相除法求得結式。

性質

• $\mathrm{res}(P,Q) = (-1)^{\deg P \cdot \deg Q} \cdot \mathrm{res}(Q,P)$
• $\mathrm{res}(P\cdot R,Q) = \mathrm{res}(P,Q) \cdot \mathrm{res}(R,Q)$
• 若 $P_1 = P + R*Q$且$\deg P_1 = \deg P$，那么$\mathrm{res}(P,Q) = \mathrm{res}(P_1, Q)$。在論及計算方式時已利用此性質。
• 若 $X, Y, P, Q$ 同次，$X = a_{00}\cdot P + a_{01}\cdot Q, Y = a_{10}\cdot P + a_{11}\cdot Q$，則有

$\mathrm{res}(X,Y) = \det{\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix}}^{\deg P} \cdot \mathrm{res}(P,Q)$

• $\mathrm{res}(P_-,Q) = \mathrm{res}(Q_-,P)$，其中 $P_-(z) := P(-z)$。

應用

• 一多項式 $P$ 與其導數 $P'$的結式可由判別式 $D(P)$ 表示：設 $P$ 的首項係數為 $a$，則

$D(P) = (-1)^{\frac{\deg P (\deg P - 1)}{2}} a^{-1} \mathrm{res}(P,P')$。

• 在代數幾何中，可用結式計算兩條平面代數曲線之交。
• 在域論中，結式可用來計算範數。

外部連結

• Weisstein, Eric W. "Resultant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.