結式

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結式數學中一個常用的不變量。考慮 F 上兩個多項式 P, Q,設其首項係數分別為 a, b,則其結式定義為

\mathrm{res}(P,Q) := a^{\deg Q} b^{\deg P} \prod_{(x,y) \in \bar{F}^2: \,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y),\,

其中 \bar{F}F 的給定代數閉包。由此定義的結式是 F 的元素,而与代數閉包的選取无关。

計算方式[编辑]

  • 結式亦可理解為西爾維斯特矩陣行列式
  • 為簡單起見,假設 P,Q 首項係數為一;若 Q 是可分多項式(換言之:無重根),則定義可改寫為
\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} Q(x)\,
此式僅依賴於 Q 除以 P 的餘式。

性質[编辑]

  • \mathrm{res}(P,Q) = (-1)^{\deg P \cdot \deg Q} \cdot \mathrm{res}(Q,P)
  • \mathrm{res}(P\cdot R,Q) = \mathrm{res}(P,Q) \cdot \mathrm{res}(R,Q)
  • P_1 = P + R*Q\deg P_1 = \deg P,那么\mathrm{res}(P,Q) = \mathrm{res}(P_1, Q)。在論及計算方式時已利用此性質。
  • X, Y, P, Q 同次,X = a_{00}\cdot P + a_{01}\cdot Q, Y = a_{10}\cdot P + a_{11}\cdot Q,則有
\mathrm{res}(X,Y) = \det{\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix}}^{\deg P} \cdot \mathrm{res}(P,Q)
  • \mathrm{res}(P_-,Q) = \mathrm{res}(Q_-,P),其中 P_-(z) := P(-z)

應用[编辑]

  • 一多項式 P 與其導數 P'的結式可由判別式 D(P) 表示:設 P 的首項係數為 a,則
D(P) = (-1)^{\frac{\deg P (\deg P - 1)}{2}} a^{-1} \mathrm{res}(P,P')

外部連結[编辑]