经典逻辑

经典逻辑标识已经被最深入的研究和最广泛的使用的一类形式逻辑。它们被特征化为一些性质；非经典逻辑缺乏一个或多个这种特性，它们是:

1. 排中律;
2. 无矛盾律;
3. 蕴涵的单调性和蕴涵的幂等律(分别就是结构规则中弱化规则和紧缩规则);
4. 合取的交换律;
5. 德·摩根对偶律: 所有逻辑算子都对偶于另一个。

经典逻辑的例子

• 亚里士多德的工具论介入了他的三段论理论，它是带有严格形式的判断(judgement)的逻辑: 断言采用四种形式，“所有 Ps 都是 Q”，“有些 Ps 是 Q”，“没有 Ps 是 Q”，“有些 Ps 不是 Q”。这些断定是两对对偶的算子，并且每个算子都是另一个的否定，亚里士多德用他的对立四边形总结了它们之间的联系。亚里士多德明确的公式化表达了排中律和无矛盾律，尽管这些定律不能在三段论框架内作为断定来表达。

• 乔治·布尔的代数的重新逻辑形式化为布尔逻辑;

• 弗雷格的概念文字。

• Clarence Irving Lewis 的真势模态逻辑的系统 S1-S5。

非经典逻辑

• 直觉逻辑拒绝排中律和德·摩根定律；
• 次协调逻辑(比如双面真理说和相干逻辑)拒绝无矛盾律；
• 相干逻辑、线性逻辑和非单调逻辑拒绝蕴涵的单调性；
• 线性逻辑拒绝蕴涵的幂等律；
• 可计算性逻辑是可计算性的语义构造的形式理论，相对于是真值的形式理论的经典逻辑；它整和并扩展了经典、线性和直觉逻辑;
• 模态逻辑向经典逻辑扩展了非真值泛函("模态")算子。

引用

• Dov Gabbay, (1994). 'Classical vs non-classical logic'. In D.M. Gabbay, C.J. Hogger, and J.A. Robinson, (Eds), Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, volume 2, chapter 2.6. Oxford University Press.