維塔利覆蓋引理

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數學上,維塔利(Vitali)覆蓋引理是一個組合幾何的結果,用於實分析中。這引理說給出一族,可以從中找到互不相交的球,將這些球半徑增加一定倍後,就能把其他的球都覆蓋住。

引理敘述[编辑]

有限多球[编辑]

在一個度量空間中有一族B_1,\ldots,B_n,則這一族球中存在互不相交的球B_{i_1},\ldots,B_{i_m},適合條件

B_1\cup\ldots \cup B_n \subset 3B_{i_1}\cup\ldots \cup 3B_{i_m}

3B_{i_k}表示和B_{i_k}有相同中心,而半徑是B_{i_k}的三倍的球。

無限多球[编辑]

在一個度量空間中有一族半徑為正數的閉球\{B_i:i\in I\},這族球的半徑有有限的上界,即

\sup_I \mathrm{rad}(B_i) <\infty

則這一族球中存在互不相交的球\{B_i:i\in I'\}I'\subset I,適合條件

\bigcup_{i\in I} B_i \subset \bigcup_{i\in I'}5B_i

5B_i表示和B_i有相同中心,而半徑是B_i的五倍的球。

證明[编辑]

有限情形[编辑]

取這一族球中半徑最大的一個球B_{i_1},然後除去所有與B_{i_1}相交的球。再從剩下的球中取半徑最大的為B_{i_2},如此類推。那麼任何其他的球必定因為和某個B_{i_k}相交而被除去,這個球的半徑不大於B_{i_k},因此包含在3B_{i_k}之內。

無限情形[编辑]

設這一族球的半徑的上確界R。將這一族按半徑分成子集\mathcal F_jj為正整數;\mathcal F_j包含半徑在區間(R/2^{j},R/2^{j-1}]的球。依次取\mathcal G_1,\mathcal G_2,\cdots如下:

  1. \mathcal F'_1=\mathcal F_1。取\mathcal G_1\mathcal F'_1內互不相交球的子集之中的極大者,即其他在\mathcal F'_1中的球都與這一子集中某個球相交。從佐恩引理知這樣的\mathcal G_1存在,以下同。
  2. 設已取\mathcal G_1,\cdots, \mathcal G_{k-1}k為某大於1的整數。設\mathcal F'_k\mathcal F_k中不與\mathcal G_1\cup \cdots \cup \mathcal G_{k-1}中任何球相交的全部球的子集。取\mathcal G_k\mathcal F'_k內互不相交球的子集之中的極大者。

\mathcal G=\bigcup_{k=1}^\infty \mathcal G_k。任何其他的球B必在某一個\mathcal F'_k中,因此這個球與\mathcal G_k中一個球B'相交,而B'的半徑大於B的半徑的二分之一,故此B包含在5B'之內。

討論[编辑]

因為有無限多球時,可能不存在半徑最大的球,所以在構造中,每一步選擇的球的半徑,只要求接近餘下的球的半徑的上確界。而結果中的5並非最佳常數。將\mathcal F_j的定義中的2^j,2^{j+1}的2換成任何大於1的數c,那麼就可把結果中的5換成1+2c,即可以用任何大於3的數取代。不過由於未必有半徑最大的球,以致不能像有限多球時用3取代,以下是一個簡單例子。

例子[编辑]

在平面\mathbb R^2中,給出如下的一族球:對每個正整數nB_n是半徑為2-1/n的閉球,若n為奇數,B_n的圓心在(2-1/n,0);若n為偶數,則圓心在(-2+1/n,0)。所有球都包含原點(0,0),故任意兩個球都相交,因此包含互不相交的球的子集只能有一個球。這一族球的半徑上確界是2,然而全部球的半徑都小於2。若選任何一個B_n為這個子集,因有半徑更大的球B_{n+1}在原點的另一側,故此3B_n不覆蓋B_{n+1}

應用[编辑]

這條引理用於證明哈代-李特爾伍德極大不等式

參見[编辑]

參考[编辑]

  • Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.