線性無關

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

線性代數裡,向量空間的一組元素中,若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示,则稱為線性無關線性獨立(linearly independent),反之稱為線性相關(linearly dependent)。例如在三維歐幾里得空間R3的三個向量(1, 0, 0),(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1),(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關,因為第三個是前兩個的和。

定義[编辑]

假設V是在K上的向量空間。如果v1, v2, ..., vnV的向量,稱它們為線性相關,如果從域K 中有非全零的元素a1, a2, ..., an,適合

 a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}

或更簡略地表示成,

 \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0} \,

(注意右邊的零是V的零向量,不是K的零元素。)

如果K中不存在這樣的元素,那麼v1, v2, ..., vn線性無關

線性無關可以給出更直接的定義。向量v1, v2, ..., vn線性無關,若且唯若它們滿足以下條件:如果a1, a2, ..., anK的元素,適合:

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0,

那麼對所有i = 1, 2, ..., n都有ai = 0。

V中的一個無限集,如果它任何一個有限子集都是線性無關,那麼原來的無限集也是線性無關。

線性相關性是線性代數的重要概念,因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間,而這組向量則是這向量空間的

相關性[编辑]

  • 含有零向量的向量組,必定線性相關。
若有向量組a_1, a_2, ... , a_s,其中a_1=0,則a_1 = 0 \cdot a_2 + ... + 0 \cdot a_s
  • 含有兩個相等向量的向量組,必定線性相關。
若有向量組a_1, a_2, ... , a_s,其中a_1=a_2,則a_1 = 1 \cdot a_2 + 0 \cdot a_3 + ... + 0 \cdot a_s
  • 若一向量組相關,則加上任意個向量後,仍然線性相關;即局部線性相關,整體必線性相關。
  • 整體線性無關,局部必線性無關。
  • 向量個數大於向量維數,則此向量組線性相關。
  • 若一向量組線性無關,即使每一向量都在同一位置處增加一分量,仍然線性無關。
  • 若一向量組線性相關,即使每一向量都在同一位置處減去一分量,仍然線性相關。
  • a_1, a_2, ... , a_s線性無關,而b, a_1, a_2, ... , a_s線性相關,則b必可由a_1, a_2, ... , a_s線性表示,且表示係數唯一。
  • 有向量組\textrm{I}\{a_1, a_2, ..., a_s\}\textrm{II}\{b_1, b_2, ..., b_t\},其中t>s,且\textrm{II}中每個向量都可由\textrm{I}線性表示,則向量組\textrm{II}必線性相關。即向量個數多的向量組,若可被向量個數少的向量組線性表示,則向量個數多的向量組必線性相關。
  • 若一向量組b_1, b_2, ..., b_t可由向量組a_1, a_2, ..., a_s線性表示,且b_1, b_2, ..., b_t線性無關,則t \le s。即線性無關的向量組,無法以向量個數較少的向量組線性表示。

例子1[编辑]

V = Rn,考虑V内的以下元素:

\begin{matrix}
\mathbf{e}_1 & = & (1,0,0,\ldots,0) \\
\mathbf{e}_2 & = & (0,1,0,\ldots,0) \\
& \vdots \\
\mathbf{e}_n & = & (0,0,0,\ldots,1).\end{matrix}

e1e2、……、en是线性无关的。

证明[编辑]

假设a1a2、……、anR中的元素,使得:

 a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = 0 . \,\!

由于

 a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = (a_1 ,a_2 ,\ldots, a_n) , \,\!

因此对于{1, ..., n}内的所有i,都有ai = 0。

例子2[编辑]

V是实变量t的所有函数向量空间。则V内的函数ete2t是线性无关的。

证明[编辑]

假设ab是两个实数,使得对于所有的t,都有:

aet + be2t = 0

我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以et(它不能是零),得:

bet = −a

也就是说,函数bett一定是独立的,这只能在b = 0时出现。可推出a也一定是零。

例子3[编辑]

R4内的以下向量是线性相关的。


\begin{matrix}
\\
    \begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix},
    \begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix},
    \begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}
\\
\\
\end{matrix}

证明[编辑]

我们需要求出标量\lambda_1\lambda_2\lambda_3,使得:


\begin{matrix}
\\
\lambda_1  \begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}+
\lambda_2  \begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}+
\lambda_3  \begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}=
           \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}.
\end{matrix}

可以形成以下的方程组


\begin{align}
  \lambda_1& \;+  7\lambda_2& &- 2\lambda_3& = 0\\
 4\lambda_1& \;+ 10\lambda_2& &+  \lambda_3& = 0\\
 2\lambda_1& \;-  4\lambda_2& &+ 5\lambda_3& = 0\\
-3\lambda_1& \;-   \lambda_2& &- 4\lambda_3& = 0\\
\end{align}

解这个方程组(例如使用高斯消元法),可得:


\begin{align}
  \lambda_1 &= \lambda_1  \\
  \lambda_2 &= (-\lambda_1)/3  \\
  \lambda_3 &= (-2\lambda_1)/3.  \\
\end{align}

由于它们都是非平凡解,因此这些向量是线性相关的。