線性調頻

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線性調頻(en:Chirp)是指頻率隨時間而改變(增加或減少)的信號。由於這種信號聽起來類似鳥鳴的啾聲,也可稱為啾聲信號、啁啾信號。

定義[编辑]

  • 瞬時頻率
當有一信號 x(t)=Asin(\phi(t) )\, 
 
其瞬時頻率 f(t)\, 可表示為 f(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\phi (t)}{dt}\, 
 
頻率改變的速率則是 k(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d^2\phi2 (t)}{dt^2}\, 
  • 線性調頻
線性調頻的瞬時頻率f(t)\,線性變化
 
其中f(t)=f_0+kt\,
 
k = \frac{f_1-f_0}{T}
 
完整推導如下
假設有一個餘弦訊號
 
 x(t)=Acos(\omega_0(t) + \phi )\, 
 
那麼可以被寫成: x(t)=Acos(\theta(t))\,  也就是瞬間相位的函數
 
在這邊 \theta(t)=\omega_0(t) + \phi
 
那麼,\omega(t)=\frac{d}{dt}\theta(t)
 
如果今天不再是線性角度,而是二次方角度時
 
\theta(t)=2\pi\alpha t^2 + 2\pi f_0 t  + \phi
 
所以\omega(t)=4\pi\alpha t + 2\pi f_0
 
又因為\omega(t)=2\pi f(t)
 
 f(t)=2\alpha t + f_0
 
在上式中,我們可以發現頻率不再是常數,而是一個頻率隨時間變化的訊號
 
 k= 2\alpha = \frac{f_1-f_0}{T}
 
其中 f_0\, 表示時間等於零時的頻率,T則是改變時間, k\, 表示頻率改變的速率,當 k>0\, 時,頻率遞增, k<0\, 則遞減。
 
而信號在時域則表示為
x(t)=Acos(2\pi f(t)+\phi_0)
chirp function
因為是實數輸入,所以其快速傅立葉轉換會是對稱於中心的
FFT chirp


範例與應用[编辑]

音頻訊號[编辑]

在大自然中我們常常可以遇到啁啾信號,例如鳥叫聲、音樂的滑音、動物發聲的聲音(青蛙、鯨魚)以及人類語音,通常會使用正弦餘弦的模型去表示之,而這樣的模型去做疊加即可模擬出許多大自然的訊號。

雷達聲納系統[编辑]

啁啾信號也常用於天然聲納系統的觀察,大多數種類的蝙蝠可以利用線性調頻,直接控制回聲定位系統,這種情況也類似於人類雷達聲納系統,為了能夠測量長距離又保留時間的解析度,雷達需要短時間的派衝波但是又要持續的發射信號,線性調頻可以同時保留連續信號和脈衝的特性,因此被應用在雷達聲納探測上。

波物理學[编辑]

低頻率的啁啾信號可用作觀察大氣層中之電離層的訊號。

機械與震動學[编辑]

對於汽車發動、或是氣體點火室的頻率對時間變化量也會用到啁啾信號,除了音樂以外,在記錄震動的儀器中也常常會使用到、觀察到啁啾信號。

生物學醫學[编辑]

在生物醫學信號裡面,例如腦電圖EEG或是與懷孕有關的子宮肌電圖檢查EMG也會遇到許多與啁啾信號有關的相關訊號,進而去分析與探討受測體的生理情況。

臨界現象[编辑]

在一些關鍵現象中,啁啾信號已經被證明與許多奇異行為有關,透過加速震盪的啁啾信號可以分析出地震金融海嘯、投資泡沫等情況的徵兆。


參考資料[编辑]

Steven W. Smith, Ph.D."The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing",Chapter 11.[1]

Time-frequency and chirps, Patrick Flandrin[2]