總和

總和為將給定的數值相加後的總值，又稱加總，數學上常以Σ表示。

舉例而言，若有4個數值：1、3、5、7，則這4個數值的總和為：

16 = 1 + 3 + 5 + 7

擴展為數學的一般式：

若有n個數值x₁、x₂、...、x_n，則此n個數值的總和為：

Σ = x₁ + x₂ + ... + x_n

上式的等號右段在數學上常簡潔地寫為：

$\sum^{n}_{i=1} x_i$

常見的總和公式

• $\sum^{n}_{i=1} i = \frac{n(n+1)}{2}$
• $\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
• $\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$
• $\sum_{i=1}^{n} i^{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$
• $\sum_{i=1}^{n} i^{5} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}(2n^2+2n-1)}{12}$
• $\sum_{i=1}^{n} {i(i+1)(i+2)\cdots(i+k)} = \frac{n(n+1)(n+2)\cdots(n+k+1)}{k+2}$
• $\sum_{i=0}^n i^m = \frac{(n+1)^{m+1}}{m+1} + \sum_{k=1}^m\frac{B_k}{m-k+1}{m\choose k}(n+1)^{m-k+1}$

  其中B_k是伯努利数

• $\sum_{i=1}^{n} (2i - 1) = n^2$
• $\sum_{i=0}^{n} x^{i} = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$
• 若0 < |x| < 1，則

$\sum_{i=0}^{\infty} x^{i} = \frac{1}{1-x}$

• $\sum_{i=0}^{n} {n \choose i} = 2^{n}$
• $\sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}$