级数

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无穷级数
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}
无穷级数

数学中,一个有穷或无穷的序列u_0,u_1,u_2 \cdots的元素的形式和S称为级数。序列u_0,u_1,u_2 \cdots中的项称作级数的通项。级数的通项可以是实数矩阵向量等常量,也可以是关于其他变量的函数,不一定是一个。如果级数的通项是常量,则称之为常数项级数,如果级数的通项是函数,则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列等比数列的级数。

有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。如果序列是无穷序列,其和则称为无穷级数,有时也简称為级数。无穷级数有发散和收敛的区别,称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数在收敛时才會有一个发散的无穷级数在一般意义上没有和,但可以用一些别的方式来定义。

无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。无穷级数一般写作 a_1 + a_2 +a_3+ \cdots\sum a_n或者\sum_{n=1}^\infty a_n,级数收敛时,其和通常被表示为\sum_{n=1}^\infty a_n

无穷级数的定义[编辑]

(u_n)是一个无穷序列 :u_1, u_2, u_3, ...u_n, ... ,其前n项的和称为\sum u_n部分和

s_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n

(u_n)部分和依次构成另一个无穷序列:s_1, s_2, s_3, ...s_n, ...

这两个序列合称为一个级数,记作\sum u_n或者\sum_{n=1}^\infty u_n,其中\sum 符號為求和号

无穷级数的敛散性[编辑]

对于级数\sum_{n=1}^\infty u_n,如果当n趋于正无穷大时,sn趋向一个有限的极限s=\lim_{n\to\infty}s_n,那么这个无穷级数就叫做是收敛的,s叫做级数\sum_{n=1}^\infty u_n的和。如果极限不存在,这个无穷级数就是发散的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和s。这时可以定义级数\sum u_n余项和R_n=S-S_n

收敛级数的性质[编辑]

  • 若一个无穷级数\sum u_n \ : \ u_1+u_2+u_3+ \cdots +u_n+ \cdots 收敛,其和为s,则如果每一项乘以一个常数a,得到的级数\sum a u_n  : \ au_1+au_2+au_3+...+au_n+...也收敛,且和等于as
  • 收敛的无穷级数可以逐项相加或相减,如有两个无穷级数:
\sum_{n=1}^\infty u_n = s\sum_{n=1}^\infty v_n = t,则
\sum_{n=1}^\infty u_n \pm v_n =s \pm t.
  • 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性,如:
s=u_1+u_2+u_3+...+u_n+...s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+...+u_n+...

这两个级数的敛散性是一样的。

  • n趋向无限大时,任何一个收敛级数的通项都趋于0:\lim_{n\to\infty}u_n=0
  • 在一个完备空间中,也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛:一个无穷级数\sum_{n=1}^ {+ \infty} u_n收敛的充要条件是,对任意 \epsilon > 0 ,总存在 N_ 0 > 0 ,使得任意的 n > m > N_ 0 |s_n - s_m|=|\sum_{k=m+1}^n u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+...+u_{n}| < \epsilon

无穷级数的研究历史[编辑]

将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念,对泰勒级数麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦余弦正切函数等的泰勒展开,还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。

17世纪,詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数,并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年,布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数q-级数的理论。

对审敛法的研究[编辑]

14世纪时,马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则,后来他的学生将其推广。

然而在欧洲,审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数

1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma(\gamma+1)}x^2 + \cdots.

的论文,提出了一些简单的收敛准则,并对余项和以及收敛半径进行了讨论。

柯西提出了严格的审敛法的重要性,他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的,同时开始研究严格的审敛准则。欧拉高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。

1826年,阿贝尔在他的关于二项式级数

1 + \frac{m}{1}x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots

的论文中更正了柯西的若干个结论,并给出了二项式级数的严格的求和方法,指出了连续性在收敛问题中的重要性。

柯西提出的审敛法并不是普遍适用的,只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家,比如拉贝(Joseph Ludwig Raabe)的对数判别法德·摩根对数判别法(被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效) ,以及贝特朗斯托克斯切比雪夫等人的审敛法也是如此。

对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始,之后的艾森斯坦维尔斯特拉斯尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。

对一致连续性的研究[编辑]

1821年,柯西首先开始对一致连续性的研究,但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出,但首先得出正确结论的是西德尔en:Philipp Ludwig von Seidel)和斯托克斯。1853年,柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究,并得到了与斯托克斯一样的结论。然而,一致连续性的重要性在很长一段时间裡没有受到重视。

类别[编辑]

几何级数[编辑]

几何级数(或等比级数)是指通项为等比数列的级数,比如:

1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.

一般来说,几何级数\sum_{n=0}^\infty z^n收敛当且仅当 |z| < 1。

调和级数[编辑]

调和级数是指通项为 {1 \over n} 的级数:

1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}

它是发散的。

p-级数[编辑]

p-级数是指通项为\frac{1}{n^p}的级数:

U_p =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}

对于实数值的p,当p > 1 时收敛,当p ≤ 1 时发散。这可以由积分比较审敛法得出。

函数\zeta : p \mapsto U_p黎曼ζ函數在实轴大于1的部分的限制,关于黎曼ζ函數有著名的黎曼猜想

裂项级数[编辑]

\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})

收敛当且仅当数列bn收敛到某个极限L,并且这时级数的和是b1L

泰勒级数[编辑]

泰勒级数是关于一个光滑函数f 在一点a 附近取值的级数。泰勒函数由函数在点a 的各阶导数值构成,具体形式为:


\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}

这是一个幂级数。如果它在a 附近收敛,那么就称函数f 在点a 上是解析的。

交错级数[编辑]

具有以下形式的级数

 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!

其中所有的 an 非负,被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法

幂级数[编辑]

形同\sum a_n (x- x_0)^n的函数项无穷级数称为x- x_0幂级数。它的收敛与否和系数a_n有关。

傅里叶级数[编辑]

任何周期函数都可以用正弦函数余弦函数构成的无穷级数来表示,称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数,也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论组合数学、信号处理、概率论统计学密码学声学光学等领域都有着广泛的应用。

例如,周期为2 \pi的周期函数f(x)可以表示为:

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx +b_n \sin nx), n=1,2,3...

其中,a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dxb_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx,特别的,a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx

常数项无穷级数(数项级数)[编辑]

正项级数[编辑]

若通项为实数的无穷级数\sum u_n每一项u_n都大于等于零,则称\sum u_n是一正项级数

如果无穷级数 \sum u_n 是正项级数,则部分和Sn是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则:单调有界数列必有极限。因此,要么部分和数列Sn有界,这时\sum u_n收敛,\lim_{n \to \infty}S_n =s,要么部分和数列趋于正无穷,这时级数发散。

比较判别法[编辑]

\sum u_n\sum v_n 是正项级数。

如果存在正实数 M,使得从若干项开始,u_n \le Mv_n(也就是说u_n = O_{\infty} (v_n)),则
  • \sum v_n 收敛时,可推出 \sum u_n 也收敛。
  • \sum u_n 发散时,可推出 \sum v_n 也发散。
如果\lim_{n \to \infty}{u_n \over v_n} =0,则
  • \sum v_n 收敛时,可推出 \sum u_n 也收敛。
  • \sum u_n 发散时,可推出 \sum v_n 也发散。
如果\lim_{n \to \infty}{u_n \over v_n} =1,则\sum v_n\sum u_n 同时收敛或发散。

比如,我们已知级数:\sum {1 \over n^2}收敛,则级数:\sum {|\sin n | \over n^2}也收敛,因为对任意的 n\sin n \le 1

比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说,我们可以选择比较简单的级数:U_p =\sum {1 \over n^p}作为“标准级数”,依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当p \le 1 时,U_p 发散,当p > 1时,U_p 收敛。

达朗贝尔判别法[编辑]

在比较判别法中,如果取几何级数为比较的标准级数,可得:

\sum u_n 是通项大于零的正项级数。并且\lim_{n \to \infty} {u_{n+1} \over u_n}= p,则
  • p < 1 时,级数 \sum u_n 收敛。
  • p > 1 时,级数 \sum u_n 发散。
  • p = 1 时,级数 \sum u_n 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为比值判别法比值审敛法

柯西收敛准则[编辑]

\sum u_n 是正项级数。并且\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = p,则
  • p < 1 时,级数 \sum u_n 收敛。
  • p > 1 时,级数 \sum u_n 发散。
  • p = 1 时,级数 \sum u_n 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为根值判别法根值审敛法'

交错级数[编辑]

具有以下形式的级数

 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!

其中所有的 an 非负,被称作交错级数

莱布尼茨判别法[编辑]

在上述的级数 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!中,如果当 n 趋于无穷时, 数列 an 的极限存在且等于 0,并且每个 an 小于 an-1 (即, 数列 an单调递减的),那么级数收敛。

任意项级数[编辑]

对于通项为任意实数的无穷级数 \sum u_n,将级数 \sum |u_n| 称为它的绝对值级数。可以证明,如果\sum |u_n|收敛,那么 \sum u_n 也收敛,这时称 \sum u_n 绝对收敛。如果 \sum u_n 收敛,但是 \sum |u_n| 发散,则称 \sum u_n 条件收敛。比如说,级数 \sum {\sin n \over n^2} 绝对收敛,因为前面已经证明 \sum {| \sin n | \over n^2} 收敛。而级数 \sum {(-1)^n \over n} 是条件收敛的。它自身收敛到 \ln {1 \over 2} ,但是它的绝对值级数 \sum {1 \over n} 是发散的。

黎曼级数定理说明,如果一个无穷级数 \sum u_n 条件收敛,那么对于任意的实数 x ,存在一个正整数到正整数的双射 \sigma ,使得级数 \sum u_{\sigma(n)} 收敛到 x 。对于正负无穷大,上述双射也存在。

函数项级数[编辑]

(u_n (x))_{n \ge 0} 为定义在区间 I 上的函数列,则表达式:u_1 (x) + u_2 (x) + \cdots + u_n (x) + \cdots称为函数项级数,简记为\sum u_n (x)。对函数项级数的主要研究是:

  1. 确定对哪些 x ,\sum u_n (x)收敛。
  2. \sum u_n (x)收敛的话,其和是什么,有什么性质?

收敛域[编辑]

对区间 I 上的每个 x_0,级数 \sum u_n (x_0)是常数项级数。若 \sum u_n (x_0)收敛,则称 x_0\sum u_n (x)的一个收敛点\sum u_n (x) 全体收敛点的集合称为它的收敛域。若 \sum u_n (x_0)发散,则称 x_0\sum u_n (x)的一个发散点\sum u_n (x) 全体发散点的集合称为它的发散域\sum u_n (x)在其收敛域的每一点上都有定义,因此定义了一个函数,称为\sum u_n (x)和函数,记为S(x)。按照定义,S(x_0) = \lim_{n \to \infty} S_n(x_0),其中S_n(x_0) = u_1 (x_0) + u_2 (x_0) + \cdots + u_n (x_0) 为函数项级数在x_0 点上的部分和。

一致收敛[编辑]

函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义,但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说,当函数项级数\sum u_n (x) 中的每一项u_n (x) 在收敛域上都是连续函数时,和函数未必会是连续函数。以下是一个例子:

\displaystyle u_n (x) = x^n - x^{n+1},也就是说\displaystyle u_0 (x) = 1 - x\displaystyle u_1 (x) = x - x^2等等,它们显然都是连续函数(甚至是光滑函数)。这时函数项级数在x 点上的部分和S_n(x) = \sum_{k=0}^n (x^k - x^{k+1}) =1 - x^{n+1} 。在区间[0, 1]的每一点上,部分和都有极限:
 x \neq 1时,S_n(x) \rightarrow 1
\displaystyle x = 1时,S_n(x) \rightarrow 0
于是在区间[0, 1]上,级数\sum u_n (x) 收敛,其和函数S(x)为:
 0 \le x < 1时,S(x) = 1S(1) = 0
这不是一个连续函数。

然而,如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话,可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性,这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样,函数项级数\sum u_n (x)在某个区间\mathcal{I} 内(关于某个范数\left \| \cdot \right \|)一致收敛的定义是它的部分和函数S_n 在区间\mathcal{I}上一致收敛到和函数S

\lim_{n \rightarrow \infty } \left \| S - S_n \right \|_{\mathcal{I}} = 0
或者写成\lim_{n \rightarrow \infty }  \left \| \sum_{k=n}^{\infty} u_k \right \|_{\mathcal{I}} = 0

可以证明:

如果级数\sum u_n (x) 在区间\mathcal{I} 内一致收敛,并且每个u_n (x) 都是连续函数,那么和函数S 在区间\mathcal{I} 上也是连续函数。

进一步的,如果导函数级数的每一项都是\mathcal{C}^p 函数(p阶连续可微函数),并且各阶导函数级数\sum u_n (x), \sum u_n^{(1)} (x), \sum u_n^{(2)} (x), \cdots, \sum u_n^{(p)} (x)在区间\mathcal{I} 内都一致收敛,那么级数和函数S(x) = \sum u_n (x) 也是\mathcal{C}^p 函数,并且:

\forall 0 \le i \le pS^{(i)}(x) = \sum u_n^{(i)} (x)

绝对收敛[编辑]

函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间\mathcal{I} 和范数\left \| \cdot \right \|_{\mathcal{I}},函数项级数\sum u_n (x) 在区间\mathcal{I} 内绝对收敛,当且仅当常数级数\sum \left \| u_n \right \|_{\mathcal{I}} 收敛。

绝对收敛的(连续?)函数在每一点都收敛,并且在区间\mathcal{I} 内一致收敛。[來源請求]

幂级数[编辑]

形同\sum a_n (x- x_0)^n的函数项无穷级数称为x- x_0幂级数。一般只需讨论形同\sum a_n x^n的幂级数。

幂函数的收敛域[编辑]

根据阿贝尔定理,它的收敛域是一个关于零对称的区间,即为( -R,R )(可开可闭)的形式。这个正数 R (可以是无穷大)叫做幂级数的收敛半径。并有定理:

设幂级数\sum a_n x^n满足\lim_{n \to \infty} {a_{n+1} \over a_n} = \rho,则:

  •  \rho是正实数时,R = {1 \over \rho}
  •  \rho = 0时,R = \infty
  •  \rho = \infty时,R = 0

幂级数的和函数[编辑]

求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分(或求导)以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式,在求和后在对各项求导(或积分)。

渐进级数[编辑]

渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的,它的部分和趋于无穷大,因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是,渐进级数提供的逼近是相对的,即只是比值趋于一致,与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说,渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差,之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。

发散级数的和[编辑]

发散级数的部分和没有极限,但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义,比如切萨罗求和阿贝尔求和以及欧拉求和

推广[编辑]

级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义,常用的是在一个巴拿赫空间(比如实数或复数空间)中。

注释[编辑]

参考文献[编辑]

参考书目[编辑]

  • 同济大学数学系. 《高等数学》(第六版). 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-021277-8. 
  • 北京大学数学科学学院. 《数学分析》(第二册). 北京大学出版社. 

参见[编辑]